Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии.

Содержание.

1. Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл.

2. Вычисление двойных интегралов.

a) примеры.

3. Приложения двойных интегралов к задачам механики.

а) масса плоской пластинки переменной плотности.

б) статические моменты и центр тяжести пластинки.

в) моменты инерции пластинки.

4. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.

а) Объём.

б) Вычисление площади плоской области.

5. Вычисление площади поверхности.

а) Примеры.

1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл.

Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz.

Область D, высекаемая в плоскости Oxy цилиндрической поверхностью, называется основанием цилиндрического тела (см. рис.1). В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может и отсутствовать; примером тому служит тело, ограниченное плоскостью Oxy и верхней полусферой .

Рис. 1

Обычно тело можно составить из некоторого числа цилиндрических тел и определить искомый объект как сумму объёмов цилиндрических тел, составляющих это тело.

Прежде всего напомним два принципа, из которых мы исходим при определении объёма тела:

    1. если разбить тело на части, то его объём будет равен сумме объёмов всех частей;
    2. объём прямого цилиндра, т. е. цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной плоскости Oxy, равен площади основания, умноженной на высоту тела.

Пусть есть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать функцию непрерывной в области D и сначала предположим, что поверхность целиком лежит над плоскостью Oxy, т. е. что всюду в области D.

Рис. 2

Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V, Разобьем основание цилиндрического тела — область D — на некоторое число n областей произвольной формы; будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их через а их площади — через . Через границу каждой частичной области проведем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Эти цилиндрические поверхности разрежут поверхность на n кусков, соответствующих n частичным областям. Таким образом, цилиндрическое тело окажется разбитым на n частичных цилиндрических тел (см. рис.2). Выберем в каждой частичной области произвольную точку и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой, равной . В результате получим n-ступенчатое тело, объем которого равен

Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равным объему построенного n-ступенчатого тела, будем считать, что Vn тем точнее выражает V, чем больше n и чем меньше каждая из частичных областей. Переходя к пределу при мы будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к нулю, но чтобы стремились к нулю все ее размеры. Если назвать диаметром области наибольшее расстояние между точками ее границы (Например, диаметр прямоугольника равен его диагонали, диаметр эллипса—его большой оси. Для круга приведенное определение диаметра равносильно обычному.), то высказанное требование будет означать, что каждый из диаметров частичных областей должен стремиться к нулю; при этом сами области будут стягиваться в точку (Если известно только, что площадь области стремится к нулю, то эта область может и не стягиваться в точку. Например, площадь прямоугольника с постоянным основанием и высотой, стремящейся к нулю, стремится к нулю, а прямоугольник стягивается к своему основанию, т. е. к отрезку).

В соответствии со сказанным мы принимаем искомый объем V равным пределу, к которому стремится Vn при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей (при этом):

К отысканию предела подобных сумм для функций двух переменных приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме.

Рассмотрим этот вопрос в общем виде. Пусть — любая функция двух переменных (не обязательно положительная), непрерывная в некоторой области D, ограниченной замкнутой линией. Разобьем область D на частичные, как указано выше, выберем в каждой частичной области по произвольной точке и составим сумму

(*)

где  — значение функции в точке ; и , — площадь частичной области.

Сумма (*) называется n-й интегральной суммой для функции в области D, соответствующей данному разбиению этой области на n частичных областей.

Определение. Двойным интегралом от функции по области D называется предел, к которому стремится n-я интегральная сумма (*) при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.

Записывается это так:

Читается: «двойной интеграл от на по области D». Выражение , показывающее вид суммируемых слагаемых, называется подынтегральным выражением; функция называется подынтегральной функцией,  — элементом площади, область D — областью интегрирования, наконец, переменные x и у называются переменными интегрирования.

Таким образом, можно сказать, что объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью Oxy, поверхностью и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz, выражается двойным интегралом от функции , взятым по области, являющейся основанием цилиндрического тела:

.

Аналогично теореме существования обыкновенного интеграла имеет место следующая теорема.

Теорема существования двойного интеграла.

Если функция непрерывна в области D, ограниченной замкнутой линией, то её n-я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел, т. е. двойной интеграл , не зависит от способа разбиения области D на частичные области и от выбора в них точек Pi.

Двойной интеграл, разумеется, представляет собой число, зависящее только от подынтегральной функции и области интегрирования и вовсе не зависящее от обозначений переменных интегрирования, так что, например,

.

Далее мы убедимся, а том, что вычисление двойного интеграла может быть произведено посредством двух обыкновенных интегрирований.

2.Вычисление двойных интегралов.

При вычислении двойного интеграла элемент площади нам удобно представить в ином виде. Будем разбивать область интегрирования D в плоскости Oxy на частичные области посредством двух систем координатных линий: x=const, y=const. Этими линиями служат прямые, параллельные соответственно оси Oy и оси Ox, а частичными областями — прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. Ясно, что площадь каждой частичной области будет равна произведению соответствующих и . Поэтому элемент площади мы запишем в виде т. е. элемент площади в декартовых координатах является произведением дифференциалов независимых переменных. Мы имеем

. (*)

При вычислении двойного интеграла (*) мы будем опираться на тот факт, что он выражает объём V цилиндрического тела с основанием D, ограниченного поверхностью . Напомним, что мы уже занимались задачей об объёме тела, когда рассматривали применения определённого интеграла к задачам геометрии и получили формулу

(**)

Рис.3

где S(х) — площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс, а и — уравнения плоскостей, ограничивающих тело. Применим теперь эту формулу к вычислению двойного интеграла

Предположим сначала, что область интегрирования D удовлетворяет следующему условию: любая прямая, параллельная оси Ox или Oy, пересекает границу области не более чем в двух точках. Соответствующее цилиндрическое тело изображено на рис.3

Область D заключим внутрь прямоугольника

стороны которого касаются границы области в точках А, В, С, Е. Интервал [а, b] является ортогональной проекцией области D на ось Ох, а интервал [c, d] - ортогональной проекцией области D на ось Oy. На рис. 5 область D показана в плоскости Оху.