Применение графиков в решении уравнений

Рисунок 7.

На интеграле (-2;2) график функции y=f (x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f (x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II)Неравенства с параметрами.

Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.

Например, неравенство√а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру, а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Пример1:

Решить неравенство|х-а|+|х+а|<b, a<>0.

Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.

Y=f (x)=|x-a|+|x+a| u y=b.

Очевидно, что при b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, то прямая y=b пересекает график функции y=f (x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при -b/2<x<b/2,так как при этих значениях переменной кривая y=|x+a|+|x-a| расположена под прямой y=b.

Ответ:Если b<=2|a|, то решений нет,

Если b>2|a|, то x ˆ(-b/2;b/2).

III) Тригонометрические неравенства:

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,

sin x<a, sin x<=a.

Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2π. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2πп, пЄZ.

Пример 1: Решить неравенство sin x>-½.(рисунок 10)

Сначала решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Πассмотрим его левую часть — отрезок [-π/2;3π/2].Ηдесь уравнение sin x=-½ имеет одно решение х=-π/6; ΰ функция sin x монотонно возрастает. Значит, если -π/2<=x<= -π/6, то sin x<=sin (-π/6)=-½, т. е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же -π/6<х<=π/2 то sin x>sin (-π/6) = -½. Все эти значения х не являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [π/2;3π/2] τункция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -½ имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если π/2<=x<7π/, то sin x>sin (7π/6)=-½, т. е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є[7π/6;3π/2] имеем sin x<= sin (7π/6)=-½, эти значения х решениями не являются. Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] εсть интеграл (-π/6;7π/6).

В силу периодичности функции sin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn), n? 737;Z, также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются.