Приближенное вычисление корней в уравнениях
Приближенное вычисление корней в уравнениях
Содержание.
- Приближённое решение уравнений :
- Способ касательных (или способ Ньютона).
- Комбинированный способ (комбинированное применение способов хорд и касательных).
- Заключение.
- Список литературы.
1.1 Способ хорд (или способ линейной интерполяции).
Приближённое решение уравнений.
Если квадратные уравнения решали уже древние греки, то способы решения алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени были открыты лишь в XVI веке. Эти классические способы дают точные значения корней и выражают их через коэффициенты уравнения при помощи радикалов различных степеней. Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому имеют малую практическую ценность.
В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней доказано, что в общем случае их решения не выражаются через коэффициенты при помощи радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни уже такого простого по виду уравнения, как:
х5−4х-2=0
Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения уравнения высших степеней. Имеется много способов приближенного решения уравнений — алгебраических и неалгебраических (или, как их называют, трансцендентных), позволяющих вычислять их корни с любой, заранее заданной степенью точности, что для практических целей вполне достаточно.
На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет идти о вычислении действительных корней.
Пусть нужно решить уравнение:
f (x)=0 (1)
Если обратиться к рисунку, то каждый корень уравнения (1) представляет собой абсциссу точки пересечения графика функции y=f (х)
C осью Ох (рисунок № 1)
С помощью графика функции или каким-нибудь иным способом обычно удаётся установить приблизительные значения корней. Это позволяет для каждого корня получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Такого рода грубых приближений во многих случаях оказывается достаточно, чтобы, отправляясь от них, получить все значения корня с требуемой точностью. Об этом и пойдёт речь.
Итак, пусть корень Е уравнения (1) «зажат» между двумя его приближениями, а и b по недостатку и по избытку а< E<b. При этом будем предполагать, что f (х), f`(х), f``(х) непрерывны на отрезке [ а, b ], причём f`(х) и f``(х) сохраняют знак. Сохранение знака у f`(х) говорит о монотонности f (х) (и, следовательно, f (a) u f (b) имеют разные знаки). Сохранение же знака у f``(х) означает, что выпуклость кривой y=f (х) для всех х отрезка [ а, b ] обращена в одну сторону. На рисунке № 2 изображены 4 случая, отвечающих возложенным комбинациям знаков у f`(х) и f``(х) .
Способ хорд (или способ линейной интерполяции).
Проведём хорду АВ (рисунок№ 3) и за первое приближённое значение корня примем абсциссу x1 точки С пересечения хорды с осью Ох.
Уравнение хорды имеет вид:
y-f (a)/f (b)-f (a)=x-a/b-a.
Поэтому в точке С:
-f (a)/f (b)-f (a)= x1-a/b-a
откуда:
x1=a- (b-a)*f (a)/ f (b)-f (a)
Рассмотрение всех четырёх случаев, изображённых на рисунке № 2, показывает, что точка x1 лежит между a и b с той стороны от Е, где f (х) имеет знак, противоположный знаку f``(х).
Остановим внимание на первом случае: f`(х)>0, f``(х)>0 (рисунок № 3), — в остальных случаях рассуждение вполне аналогично. В этом первом случае x1 лежит между a и Е. С отрезком [x1, b] поступаем так же, как мы поступаем с отрезком [a, b] (рисунок № 4). При этом для нового приближённого значения корня получаем:
x1 = x2-(b- x1)*f (x1)/f (b)-f (x1)
(в формуле (2) заменяем x1 на x2, а на x1); значение x2 оказывается между x1 и Е. Рассматриваем отрезок [x2, b] и находим новое приближённое x3, заключённое между x2 и Е и. т. д. В результате получим последовательность а<x1<x2<x3<…<xn<…<E (3), всё более и более точных приближённых значений корня, причём хn+1 через xn выражается формулой:
хn+1= xn-(b- xn)*f (xn)/f (b)-f (xn) (4)
Для оценки погрешности соответсвующих приближений воспользуемся формулой Лагранжа: