Приближенное вычисление корней в уравнениях

f (xn)-f (E)=f`(c)*(xn-E) (xn<c<E)

или, поскольку

f (E)=0: f (xn)=f`(c)(xn-E),

откуда:

xn-Е= f (xn)/ f`(c)

Если обозначить через m наименьшее значение |f`(х)| на рассматриваемом отрезке, то для оценки погрешности получим формулу:

|xn-E|<|f`(xn)|/m (5)

Эта формула, заметим, совершенно не связана со способом отыскивания величин xn и, следовательно, приложила к приближённым значениям корня, получаемым любым методом. Формула (5) позволяет судить о близости xn к Е по величине значения f (xn). Однако в большинстве случаев она даёт слишком грубую оценку погрешности, т. е. фактическая ошибка оказывается значительно меньше.

Легко доказать, что последовательность приближений:

x1,x2,x3,…xn,… (6)

для корня Е, получаемых по способу хорд, всегда сходится к Е. Из случая, рассматривающегося выше, мы видим, что последовательность (6) — монотонная и ограниченная. Поэтому она имеет некоторый предел n<E. Переходя к пределу в равенстве (4), в силу непрерывности f (x) получим:

n=n-(b-n)f (n)/f (b)-f (n)

откуда F (n)=0. Так как f (x) возрастает на отрезке [a, b], то уравнение f (х)=0 имеет единственный корень, и этим корнем по условию является Е. Поэтому n=E, т. е. lim xn=E.

Пример № 1. Методом хорд найдём положительный корень уравнения

х4−2х-4=0

с точностью до 0,01.

Решение:

Положительный корень будет находиться в промежудке (1; 1,7), так как f (1)=-5<0, а f (1,7)=0,952 >0

Найдём первое приближённое значение корня по формуле (2):

х1=1−91,7−1)* f (1)/ f (1,7) — f (1)=1,588;

так как f (1,588)=-0,817<0, то, применяя вторично способ хорд к промежутку (1,588; 1,7), найдём второе приближённое значение корня:

х2= 1,588-(1,7−1,588) f (1,588)/ f (1,7) — f (1,588)=1,639;

f (1,639)=-0,051<0.

Теперь найдём третье приближённое значение:

х3=1,639-(1,7−1,639) f (1,639)/ f (1,7) — f (1,639)=1,642;

f (1,642)=-0,016<0.

Теперь найдём четвёртое приближённое значение:

х4=1,642-(1,7−1,642) f (1,642)/ f (1,7) — f (1,642)=1,643;

f (1,643)=0,004>0

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.

1.2 Способ касательных (или способ Ньютона).

В том из концов дуги АВ (рисунок № 5), в котором знаки f (х) и f``(х) совпадают, проводим касательную и за первое приближённое значение корня принимаем абсциссу х1` точки Д пересечения этой касательной с осью Ох. Обратимся вновь к первому случаю, соответствующему первому рисунку № 2 (f`(x)>0, f``(x)>0), — в остальных случаях рассуждают опять-таки аналогично. Уравнение интересующей нас касательной имеет вид:

y-f (b)=f`(b)(x-b),

и поэтому в точке Д:

-f (b)=f`(b)(x1`-b),

откуда:

x1`=b-f (b)/f`(b).

Из рисунка видно, что x1` лежит между Е и b. С отрезком [a, x1`] поступаем так же, как с отрезком [a, b] (рисунок № 5), и в результате для нового приближённого значения корня получим:

х2` = x1`- f (x1`)/ f`(x1`).

Значение х2` оказывается между Е и x1`. Рассматриваем отрезок [a, х2`] и находим новое приближение х3` и т. д. В результате получим последовательность:

b> x1`> х2`> х3`>…>xn`>…>E (7)

все более точных приближённых значений корня, причём:

xn+1`= xn`- f (xn`)/ f`(xn`) (8)

Эта формула справедлива для всех четырёх случаев, изображённых на рисунке 32. Для оценки погрешностей полученных приближений можно опять воспользоваться формулой (5), как и в первом случае, легко устанавливается сходимость последовальности x1`, х2`, х3`,…, xn`,… к значению Е

Пример № 2. Методом касательных найдём положительный корень уравнения