Приближенное вычисление корней в уравнениях

Приближенное вычисление корней в уравнениях

Содержание.

  1. Приближённое решение уравнений :
  2. 1.1 Способ хорд (или способ линейной интерполяции).

    1. Способ касательных (или способ Ньютона).
    2. Комбинированный способ (комбинированное применение способов хорд и касательных).
  3. Заключение.
  4. Список литературы.

Приближённое решение уравнений.

Если квадратные уравнения решали уже древние греки, то способы решения алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени были открыты лишь в XVI веке. Эти классические способы дают точные значения корней и выражают их через коэффициенты уравнения при помощи радикалов различных степеней. Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому имеют малую практическую ценность.

В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней доказано, что в общем случае их решения не выражаются через коэффициенты при помощи радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни уже такого простого по виду уравнения, как:

х5−4х-2=0

Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения уравнения высших степеней. Имеется много способов приближенного решения уравнений — алгебраических и неалгебраических (или, как их называют, трансцендентных), позволяющих вычислять их корни с любой, заранее заданной степенью точности, что для практических целей вполне достаточно.

На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет идти о вычислении действительных корней.

Пусть нужно решить уравнение:

f (x)=0 (1)

Если обратиться к рисунку, то каждый корень уравнения (1) представляет собой абсциссу точки пересечения графика функции y=f (х)

C осью Ох (рисунок № 1)

С помощью графика функции или каким-нибудь иным способом обычно удаётся установить приблизительные значения корней. Это позволяет для каждого корня получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Такого рода грубых приближений во многих случаях оказывается достаточно, чтобы, отправляясь от них, получить все значения корня с требуемой точностью. Об этом и пойдёт речь.

Итак, пусть корень Е уравнения (1) «зажат» между двумя его приближениями, а и b по недостатку и по избытку а< E<b. При этом будем предполагать, что f (х), f`(х), f``(х) непрерывны на отрезке [ а, b ], причём f`(х) и f``(х) сохраняют знак. Сохранение знака у f`(х) говорит о монотонности f (х) (и, следовательно, f (a) u f (b) имеют разные знаки). Сохранение же знака у f``(х) означает, что выпуклость кривой y=f (х) для всех х отрезка [ а, b ] обращена в одну сторону. На рисунке № 2 изображены 4 случая, отвечающих возложенным комбинациям знаков у f`(х) и f``(х) .

Способ хорд (или способ линейной интерполяции).

Проведём хорду АВ (рисунок№ 3) и за первое приближённое значение корня примем абсциссу x1 точки С пересечения хорды с осью Ох.

Уравнение хорды имеет вид:

y-f (a)/f (b)-f (a)=x-a/b-a.

Поэтому в точке С:

-f (a)/f (b)-f (a)= x1-a/b-a

откуда:

x1=a- (b-a)*f (a)/ f (b)-f (a)

Рассмотрение всех четырёх случаев, изображённых на рисунке № 2, показывает, что точка x1 лежит между a и b с той стороны от Е, где f (х) имеет знак, противоположный знаку f``(х).

Остановим внимание на первом случае: f`(х)>0, f``(х)>0 (рисунок № 3), — в остальных случаях рассуждение вполне аналогично. В этом первом случае x1 лежит между a и Е. С отрезком [x1, b] поступаем так же, как мы поступаем с отрезком [a, b] (рисунок № 4). При этом для нового приближённого значения корня получаем:

x1 = x2-(b- x1)*f (x1)/f (b)-f (x1)

(в формуле (2) заменяем x1 на x2, а на x1); значение x2 оказывается между x1 и Е. Рассматриваем отрезок [x2, b] и находим новое приближённое x3, заключённое между x2 и Е и. т. д. В результате получим последовательность а<x1<x2<x3<…<xn<…<E (3), всё более и более точных приближённых значений корня, причём хn+1 через xn выражается формулой:

хn+1= xn-(b- xn)*f (xn)/f (b)-f (xn) (4)

Для оценки погрешности соответсвующих приближений воспользуемся формулой Лагранжа:

f (xn)-f (E)=f`(c)*(xn-E) (xn<c<E)

или, поскольку

f (E)=0: f (xn)=f`(c)(xn-E),

откуда:

xn-Е= f (xn)/ f`(c)

Если обозначить через m наименьшее значение |f`(х)| на рассматриваемом отрезке, то для оценки погрешности получим формулу:

|xn-E|<|f`(xn)|/m (5)

Эта формула, заметим, совершенно не связана со способом отыскивания величин xn и, следовательно, приложила к приближённым значениям корня, получаемым любым методом. Формула (5) позволяет судить о близости xn к Е по величине значения f (xn). Однако в большинстве случаев она даёт слишком грубую оценку погрешности, т. е. фактическая ошибка оказывается значительно меньше.

Легко доказать, что последовательность приближений:

x1,x2,x3,…xn,… (6)

для корня Е, получаемых по способу хорд, всегда сходится к Е. Из случая, рассматривающегося выше, мы видим, что последовательность (6) — монотонная и ограниченная. Поэтому она имеет некоторый предел n<E. Переходя к пределу в равенстве (4), в силу непрерывности f (x) получим:

n=n-(b-n)f (n)/f (b)-f (n)

откуда F (n)=0. Так как f (x) возрастает на отрезке [a, b], то уравнение f (х)=0 имеет единственный корень, и этим корнем по условию является Е. Поэтому n=E, т. е. lim xn=E.

Пример № 1. Методом хорд найдём положительный корень уравнения

х4−2х-4=0

с точностью до 0,01.

Решение:

Положительный корень будет находиться в промежудке (1; 1,7), так как f (1)=-5<0, а f (1,7)=0,952 >0

Найдём первое приближённое значение корня по формуле (2):

х1=1−91,7−1)* f (1)/ f (1,7) — f (1)=1,588;

так как f (1,588)=-0,817<0, то, применяя вторично способ хорд к промежутку (1,588; 1,7), найдём второе приближённое значение корня:

х2= 1,588-(1,7−1,588) f (1,588)/ f (1,7) — f (1,588)=1,639;

f (1,639)=-0,051<0.

Теперь найдём третье приближённое значение:

х3=1,639-(1,7−1,639) f (1,639)/ f (1,7) — f (1,639)=1,642;

f (1,642)=-0,016<0.

Теперь найдём четвёртое приближённое значение:

х4=1,642-(1,7−1,642) f (1,642)/ f (1,7) — f (1,642)=1,643;

f (1,643)=0,004>0

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.

1.2 Способ касательных (или способ Ньютона).

В том из концов дуги АВ (рисунок № 5), в котором знаки f (х) и f``(х) совпадают, проводим касательную и за первое приближённое значение корня принимаем абсциссу х1` точки Д пересечения этой касательной с осью Ох. Обратимся вновь к первому случаю, соответствующему первому рисунку № 2 (f`(x)>0, f``(x)>0), — в остальных случаях рассуждают опять-таки аналогично. Уравнение интересующей нас касательной имеет вид: