Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЛОВ.
Задачи различных областей человеческой деятельности зачастую сводятся к решению определенного интеграла, где f (x) — функция, непрерывная на отрезке [a; b], по формуле Ньютона-Лейбница. Если функция f (x) задана графически или таблицей, то для вычисления данного интеграла применяют приближенные формулы,
Покажем на примере: разделим отрезок [a; b] на n равных частей,
- Левые прямоугольники (построение слева на право)
- Правые прямоугольники (построение справа на лево)
- Средние прямоугольники (построение посредине)
Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяют площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников.
Сделаем вывод: вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников, где h=(b-a)/n -ширина прямоугольников.
Формула средних прямоугольников: Sсредих= (Sправых + Sлевых) /2
МЕТОД ЛЕВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ.
Создадим программу решения интегралов методом левых прямоугольников и результаты выведем на экран, в результате чего получим следующее…
Program levii;{Метод левых прямоугольников}uses crt;var i, n: integer; a, b, h, x, xb, s: real;function f (x:real):real;begin f:=(1/x)*sin (3.14*x/2); end;beginclrscr;write ('Введите нижний предел интегрирования '); readln (a);write ('Введите верхний предел интегрирования '); readln (b);write ('Введите количество отрезков '); readln (n);h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;for i:=0 to n-1 dobegin x:=xb+i*h; s:=s+f (x)*h; end;writeln ('Интеграл равен ', s:12:10); readln;end.
a=1 b=2 n=10 S= 18,077
a=1 b=2 n=20 S= 18, 208
a=1 b=2 n=100 S= 18, 270
МЕТОД СРЕДНИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
Создадим программу решения интегралов методом средних прямоугольников и результаты выведем на экран, в результате чего получим следующее…
Program srednii; {Метод средних прямоугольников}uses crt;var i, n: integer; a, b, dx, x, s, xb: real;function f (x: real):real;begin f:=(1/x)*sin (3.14*x/2); end;beginclrscr; write ('Введите нижний предел интегрирования '); readln (a); write ('Введите верхний предел интегрирования '); readln (b); write ('Введите количество отрезков '); readln (n);dx:=(b-a)/n; xb:=a+dx/2;for i:=0 to n-1 dobegin x:=xb+i*dx; s:=s+f (x)*dx; end;write ('Интеграл равен ', s:15:10); readln;end.
a=1 b=2 n=10 S=18,7 667
a=1 b=2 n=20 S=18,368
a=1 b=2 n=100 S= 18,156
ВЫВОДЫ
Из рассмотренных выше примеров легко заметить, что при вычислении определенных интегралов методами прямоугольников мы не можем достигнуть точного значения,