Построение математических моделей при решении задач оптимизации

Решение.

Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью, если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь.

Пусть AB=x, AD=y, тогда

P=AB+BC+AD+ DMC

P=x+2y+0,5 p x (1)

S=AB*BC+p x /8

S=xy+ x p/8 (2)

Из (1),(2) следует, что

S (x)=-(p/8 +½)x +3x

Известно, что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при

x =-b/2a, т. е. x =12/(p +4), y= 6/ (p +4).

Ответ.Размеры окна 6/(p +4), 12/(p +4).

Задача 6.

На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении не разрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъема снаряда, если начальная скорость снаряда ν0 = 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Из курса физики известно, что путь s, пройденный телом при равноускоренном движении, изменяется в зависимости от времени по закону s = s0 + ν0 t + at2/ 2, где s0 — начальный путь, ν0 — начальная скорость, a — ускорение, t — время.

В рассматриваемом случае s =0,v =300 м/с, а=-5 м/с , значит, S (t) = 300t — 5t2 .

Функция S (t) принимает наибольшее значение при

S (30)= 300*30−5*302 =4500(м)

Наибольшая высота подъема снаряда равна 4500 м.

Как видно из примеров, решение экстремальных задач дает возможность установить более тесную межпредметную связь алгебры, геометрии и физики. При их решении можно приобрести не только математическую информацию, но и знания из курса физики.

Решение физических задач поучительно с точки зрения математики, так как можно показать тонкости тех или иных математических приемов в действии, в их практическом приложении.

В частности, эти задачи помогают осознать, что функция, заданная аналитической формулой, может выражать зависимости между реальными величинами в самых различных явлениях и процессах

Задача 7.

Арка моста имеет форму параболы (высота 4 м, наибольшая ширина 20 м).

Составьте уравнение этой параболы.

Решение.

Уравнение параболы в данном случае имеет вид y = ax2 + c. Для определения a и c подставим в этом уравнение координаты точек B и C (рис. 1), т. е.

4 = c c = 4 c = 4,

ÞÞ

0 = 100a + c 100a = -4 a = - 0,04

Парабола имеет вид: y = - 0,04x2 + 4.

4.Применение методов дифференциального исчисления при решении прикладных задач.

Задача 8.

Проектируется канал оросительной системы с прямоугольным сечением в 4,5 м2. Каковы должны быть размеры сечения, чтобы для облицовки стенок и дна пошло наименьшее количество материала?

Решение.

Пусть стенки канала имеют длину x м., а дно канала — y м.

Тогда:

x*y=4,5 y=4,5/x

S= L*(2x+y) S=L*(2x+4,5/x)

Найдем производную.

Так как S'=0, и L (длина канала)-положительное число, то

x=1,5 Легко убедиться, что при данном x значение S минимально

Ответ: x=1,5 м. y=3 м.

Задача 9.

Какова должна быть скорость парохода, чтобы общая сумма расходов на один км. пути была наименьшей, если расходы на топливо за один час пропорциональна квадрату скорости.

Решение.

Расходы на 1 км пути на эксплуатацию парохода состоят из расходов на топливо и других расходов (содержание команды, амортизация). Ясно, что чем быстрее движется пароход, тем больше расход топлива. Остальные расходы от скорости движения не зависят.

Обозначим через S-сумму расходов в час, V- скорость судна

Расходы на 1 км выразится формулой S/V

По условию имеем S=KV2+b, где K- коэффициент пропорциональности, b- расходы, кроме расходов на топливо.

Y=S/V Y=(KV2+b)/V=KV+b/V

Надо найти значение V, при котором функция Y=KV+b/V имеет наименьшее значение.