Построение математических моделей при решении задач оптимизации

Задача 1 .

Расстояние между двумя шахтами, А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте, А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В — 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

Выясняем, что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев, когда завод находится от пункта, А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км. Далее приступаем к решению задачи, обозначив расстояние от завода С до шахты, А через х:

х 60 — х

A_____________________________B

АС = х

ВС = 60 — х

Количество тонно-километров, пройденных транспортом от, А до С за каждый день, составляет 200 х т/км, а от В до С — 100 (60 — х) т/км. Суммарное количество тонно-километров выразится функцией у = 200х + 100 (60 — х) = 100х + 6000, которая определена на сегменте [0; 60].

Ясно, что это уравнение может иметь бесконечно много решений. Естественно здесь поставить вопрос — найти дешевый вариант перевозок.

Исследуя функцию у = 100х + 6000 на сегменте [0; 60], получим уmin = 6000.

Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при х = 0, уmin = 6000 т/км. Завод надо строить возле шахты А.

Для лучшего понимания этой задачи целесообразно дополнительно выяснить вопрос, где нужно бы построить завод, если бы:

а) в шахте, А добывалось 100 т, а в шахте В — 200 т руды;

б) в шахте, А — 200 т, а в шахте В — 190 т;

в) в шахте, А и шахте В — по 200 т руды;

Чтобы решить этот вопрос, нужно найти на сегменте [0; 60] минимум функции:

а) у = 100х + 200(60 — х) = - 100х + 12 000;

б) у = 200х + 190(60 — х) = 10х + 11 400;

в) у = 200х + 200(60 — х) = 12 000.

Из всего этого можно сделать такой вывод: если в шахте, А добывается руды больше, чем в шахте В, то завод надо строить возле шахты А; если же количество руды в этих шахтах одинаковое, то завод можно строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между шахтами, А и В.

Задача 2.

На колхозной ферме нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?

Учитывая, что количество как одних, так и других труб может изменяться, количество 7 — метровых труб обозначим через х, а 5 — метровых — через у. Тогда 7х — длина 7-метровых труб, 5у — длина 5-метровых труб. Отсюда получаем неопределенное уравнение

7х + 5у = 167

Выразив, например, переменную у через переменную х, получим:

Так как х, уЄZ, то методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у, которые удовлетворяют уравнение 7х + 5у = 167.

(1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4).

Из этих решений наиболее выгодное последнее, т. е. х = 21, у = 4.

Задача 3 .

Для изготовления двух видов изделий Аи В завод расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, запас которых ограничен. На изготовление указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки в количестве, указанном в таблице.

Таблица

Затраты на одно изделие

А

В

Ресурсы

Материалы

Сталь (кг)

10

70

320

Материалы

Цветные металлы (кг)

20

50

420

Оборудование

Токарные станки (станко-ч)

300

400

6200

Оборудование

Фрезерные станки (станко-ч)

200

100

3400

Прибыль на одно изделие (в тыс.руб.)

3

8

Необходимо определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль, если время работы фрезерных станков используется полностью.

Решение.

Посмотрим математическую модель задачи. Обозначим через х число изделий вида А, а через у — число изделий вида В. На изготовление всей продукции уйдет (10 х +70у)кг стали и (20 х +50у) кг цветных металлов. Так как запасы стали не превышают 320 кг, а цветных металлов — 420 кг, то