Оценка параметров и проверка гипотез о нормальном распределении

Вероятность Pi определяется по формуле

Pi=P (ai<x<=bi)=½[Ф (t2i)-Ф (t1i)], где Ф (t)=2\ 2(пи)=интегралу с границами от (0;t) е^x2/2dx — интегральная функция Лапласа — находится по таблице для

T2i=bi-x ср.\ S

T1i=ai-x ср.\S

Таблицы. Для вычисления вероятности нормальной кривой распределения

Интервалы

Mi

T1

T2

½Ф (T1)

½Ф (T2)

Pi

a (i)

b (i)

730,644

735,356

2

-2,640

-2,051

0,4958

0,4798

-0,0080

735,356

740,068

8

-2,051

-1,461

0,4798

0,4279

-0,0260

740,068

744,780

6

-1,461

-0,872

0,4279

0,3078

-0,0601

744,780

749,492

18

-0,872

-0,283

0,3078

1,1103

0,4013

749,492

754,204

35

-0,283

0,306

0,0300

0,6619

0,3160

754,204

758,916

12

0,306

0,896

0,1179

0,3133

0,0977

758,916

763,628

11

0,896

1,485

0,3133

0,4306

0,0587

763,628

768,340

6

1,485

2,074

0,4306

0,4808

0,0251

768,340

773,052

2

2,074

2,664

0,4808

0,4960

0,0076

Pi*n

Mi (теор)

Mi (теор)/h

Mi (теор)накоп

-0,8000

1

0,002

0,0080

-2,5950

3

0,006

0,0340

-6,0050

6

0,013

0,0940

40,1250

40

0,085

0,4953

31,5950

32

0,068

0,8153

9,7700

10

0,021

0,9130

5,8650

6

0,012

0,9716

2,5100

3

0,005

0,9967

0,7600

1

0,002

1,0000

100

Сравнивая гистограммы и нормальную кривую можно заметить согласованность между теоретическим и эмпирическим распределением.

Проверка гипотез о нормальном законе распределения

Для проверки распределения частот эмпирического ряда распределения по нормальному закону используют критерий X2, основанный на сравнении эмпирических частот mi с теоретическими m^тi, которые можно получить при принятии определенной нулевой гипотезы.

Значение X^2набл. — наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно к — число интервалов (после объединения); M^i — теоретические частоты; F^2набл.= (mi-m^тi); I=1 m^i.

Вычисление критерия X2 при проверке нормальности продолжительности горения электролампочек

Интервалы

Mi (Практ)

Mi (теор)

(Mi-Mi (теор))^2

…/Mi (теор)

a (i)

b (i)

730,644

735,356

2

2

9

1,29

735,356

740,068

8

5

740,068

744,780

6

13

49

3,88

744,780

749,492

18

21

9

0,43

749,492

754,204

35

25

100

4,01

754,204

758,916

12

21

81

3,89

758,916

763,628

11

12

1

0,08

763,628

768,340

6

5

1

0,14

768,340

773,052

2

2

X^2набл

13,71

Проверка гипотезы:

  1. По таблице распределения найдем xu-квадрат критического значения X^2кр.(альфа для числа степеной свободы V=к-3 и заданного уровня значимости альфа.
  2. Далее необходимо сравнить X^2кр.
  3. Если X2 набл.<=X^2кр., то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается (не противоречит опытным данным).
  4. Если X2 набл. >X^2кр., то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки a .

Для данного примера X^2набл.=13,71, a =0,005, V=7−3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и X^2кр. (0,005; 4) =14,9

В связи с тем, что X^2набл.<X^2кр., следует, что согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается с вероятностью ошибки 0,005. Делаем вывод: распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным. Что подтверждают графики и значения моды и медианы.