Оценка параметров и проверка гипотез о нормальном распределении
Вероятность Pi определяется по формуле
Pi=P (ai<x<=bi)=½[Ф (t2i)-Ф (t1i)], где Ф (t)=2\ 2(пи)=интегралу с границами от (0;t) е^x2/2dx — интегральная функция Лапласа — находится по таблице для
T2i=bi-x ср.\ S
T1i=ai-x ср.\S
Таблицы. Для вычисления вероятности нормальной кривой распределения
Интервалы | Mi | T1 | T2 | ½Ф (T1) | ½Ф (T2) | Pi | |
a (i) | b (i) | ||||||
730,644 | 735,356 | 2 | -2,640 | -2,051 | 0,4958 | 0,4798 | -0,0080 |
735,356 | 740,068 | 8 | -2,051 | -1,461 | 0,4798 | 0,4279 | -0,0260 |
740,068 | 744,780 | 6 | -1,461 | -0,872 | 0,4279 | 0,3078 | -0,0601 |
744,780 | 749,492 | 18 | -0,872 | -0,283 | 0,3078 | 1,1103 | 0,4013 |
749,492 | 754,204 | 35 | -0,283 | 0,306 | 0,0300 | 0,6619 | 0,3160 |
754,204 | 758,916 | 12 | 0,306 | 0,896 | 0,1179 | 0,3133 | 0,0977 |
758,916 | 763,628 | 11 | 0,896 | 1,485 | 0,3133 | 0,4306 | 0,0587 |
763,628 | 768,340 | 6 | 1,485 | 2,074 | 0,4306 | 0,4808 | 0,0251 |
768,340 | 773,052 | 2 | 2,074 | 2,664 | 0,4808 | 0,4960 | 0,0076 |
Pi*n | Mi (теор) | Mi (теор)/h | Mi (теор)накоп | ||||
-0,8000 | 1 | 0,002 | 0,0080 | ||||
-2,5950 | 3 | 0,006 | 0,0340 | ||||
-6,0050 | 6 | 0,013 | 0,0940 | ||||
40,1250 | 40 | 0,085 | 0,4953 | ||||
31,5950 | 32 | 0,068 | 0,8153 | ||||
9,7700 | 10 | 0,021 | 0,9130 | ||||
5,8650 | 6 | 0,012 | 0,9716 | ||||
2,5100 | 3 | 0,005 | 0,9967 | ||||
0,7600 | 1 | 0,002 | 1,0000 | ||||
100 |
Сравнивая гистограммы и нормальную кривую можно заметить согласованность между теоретическим и эмпирическим распределением.
Проверка гипотез о нормальном законе распределения
Для проверки распределения частот эмпирического ряда распределения по нормальному закону используют критерий X2, основанный на сравнении эмпирических частот mi с теоретическими m^тi, которые можно получить при принятии определенной нулевой гипотезы.
Значение X^2набл. — наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно к — число интервалов (после объединения); M^i — теоретические частоты; F^2набл.= (mi-m^тi); I=1 m^i.
Вычисление критерия X2 при проверке нормальности продолжительности горения электролампочек
Интервалы | Mi (Практ) | Mi (теор) | (Mi-Mi (теор))^2 | …/Mi (теор) | |
a (i) | b (i) | ||||
730,644 | 735,356 | 2 | 2 | 9 | 1,29 |
735,356 | 740,068 | 8 | 5 | ||
740,068 | 744,780 | 6 | 13 | 49 | 3,88 |
744,780 | 749,492 | 18 | 21 | 9 | 0,43 |
749,492 | 754,204 | 35 | 25 | 100 | 4,01 |
754,204 | 758,916 | 12 | 21 | 81 | 3,89 |
758,916 | 763,628 | 11 | 12 | 1 | 0,08 |
763,628 | 768,340 | 6 | 5 | 1 | 0,14 |
768,340 | 773,052 | 2 | 2 | ||
X^2набл | 13,71 |
Проверка гипотезы:
- По таблице распределения найдем xu-квадрат критического значения X^2кр.(альфа для числа степеной свободы V=к-3 и заданного уровня значимости альфа.
- Далее необходимо сравнить X^2кр.
- Если X2 набл.<=X^2кр., то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается (не противоречит опытным данным).
- Если X2 набл. >X^2кр., то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки a .
Для данного примера X^2набл.=13,71, a =0,005, V=7−3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и X^2кр. (0,005; 4) =14,9
В связи с тем, что X^2набл.<X^2кр., следует, что согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается с вероятностью ошибки 0,005. Делаем вывод: распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным. Что подтверждают графики и значения моды и медианы.