Отображения в пространстве R(p1,p2)

Отображения в пространстве R (p1, p2)

§ 1. Пространство R (p1, p2).

А1— аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r = {a,`e}, где, а и`e соответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q`e, d`e= W`e (1),

причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства:

D q = qÙW, DW=WÙW=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + ½d2`e + 1/6d3`e +… по отношению к вектору `е. Тогда `e* =e*`e. Из (1) получаем: e* =1+W+… Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e*, близкого к `e, по отношению к `e.

Пусть R (p1, p2) — пространство всех пар (p1, p2) точек p1, p2 прямой А1. Поместим начало, а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора `е — в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -`е.

Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.

Таким образом, в репере r структурными формами пространства R (р1, р2) являются формы Пфаффа: W+q, -W+q.

Очевидно, что dim R (p1, p2)=2. Заметим, что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р12*, близкого к р1р2, по отношению к р1р2.

§ 2. Отображение f.

А2 — аффинная плоскость, отнесенная к подвижному реперу R={p,`ej}. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp=Wjej; d`ej= Wj k;

DWj=Wk^Wkj; DWj=Wjy^Wyk .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в пространстве R (p1, p2):f:AR (p1, p2).

Будем считать, что в каждой точке области определения отображения f выполняется: rang f=2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1, p2). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q+W=ljWj; Q-W=mjWj (2)

Из (1) вытекает, что существует локальное дифференцируемое отображение f-1: R (p1, p2)®A2 обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :

Wj=lj(Q+W)+mj(Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

lklj+mkmj=djk

ljlj=1

mjmj=1 (*)

ljmj=0

mjlj=0

Указанную пару {r;R} реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f.

§ 3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D (λjWj-W-Q)=0,

получаем:

jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWk

D (μjWj+W-Q)=0

получаем :

jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWk

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид:

Q+W=λjWj

Q-W=μjWj

jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWk

jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWj

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1={λjj} является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

k^WjkkdWjk+1\4(λjμkkμj)^Wk+1\4(λjμkkμj)dWk+dλjk^WkjkdWk=0.

получим:

(dλjtktWjkjkWtk+1\4(λkμjtkλjk)Wk+1\16λtμkjj)Wk)^Wt=0

k^WjkkdWjk+1\4d (λjμkkμj)^Wk+1\4(λjμkkμj)dWk+dμjk^WkjkdWk=0

получим:

(dμjtktWjkjtWtk+1\4(λkμjtkλjt)Wk+1\16λtμkjj)Wk)^Wt=0

обозначим:

λj=dλjtWjt

μj=dμjtWjt

λjk=dλjktkWktjtWkt

μjk=dμtkWjtjtWkt

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:

Q+W=λjWj

Q-W=μjWj

jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWk

jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWk (4)

λjk=(1\4(μαλjkαμjk)+1\16λkμαjj)+λjkα)Wα

μjk=(1\4(μαλjkαμjk)+1\16λkμαjj)+μjkα)Wα

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2={λjjjkjk} образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР порядка р:

ГР={λjjj1j2j1j2,…,λj1j2…jpj1j2…jp}.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин j},{μj} образует подобъекты геометрического объекта Г1. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λjXj=1; μjXj=1 (6)

не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины jj} являются компонентами матрицы, обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом, величины jj} охватываются объектом Г1.

Из (*) получаем:

j=-λkWkj-1\4(λjjtWtktλkλtWtktWtkμj

j=-μkWkjktμkλjWtktμkμjWt+1\4λtjj)Wt

Таким образом, система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г1. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1. Конец вектора v1jej(вектора v2jej) лежит на прямой (6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:

λjXj=0, μjXj = 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы j} и j} параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λjXj=1

V2

V1μjXj=1

Система величин ρjjj образует ковектор: jkWjk+(μjkjk)Wk.

Определяемая им прямая ρjXj=0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6).

Пусть W-однородное подмногообразие в R (p1, p2) содержащее элементы 1, р2) определяемое условием: 1*, р2*)∈W↔p1*p2*=p1p2.

Теорема 1. Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W) многообразия W при отображении f.

Доказательство:

] (p1*, p2*)∈W и p1*=p1+dp1+1\2d2p1+… ,

p2*=p2+dp2+1\2d2p2+… .

Тогда в репере Г: p1*p2*=e p1p2, где e=1+2W+… является относительной длиной отрезка р1*р2* по отношению к р1р2. Таким образом, 1*р1*)∈W↔W=0.

Из (2) получим: W=ρ1Wj

Следовательно, 1*р2*)∈W равносильно ρjWj=0 (9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента 1, р2)∈R (p1p2) определяется функция h: (p1*p2*)∈h (p1p2)→e∈R, так, что р1*р2*=е р1р2

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f-1(W) является линией уровня функции h. Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f-1(W).

]W1, W2— одномерные многообразия в R (p1p2), содержащие элемент 1р2) и определяемые соответственно уравнениями:

(p1*, p2*)єW1↔p2*=p2.

(p1*, p2*)єW2↔p1*=p1.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W2 (многообразия W1) при отображении f.

Дифференциальные уравнения линии f-1(W1) и f-1(W2) имеют соответственно вид:

λjWj=0

μjWj=0.

Пусть W0— одномерное подмногообразие в R (p1p2), содержащее 1р2) и определяемое условием: (p1*p2*)єW0↔Q*=Q, где Q*— середина отрезка р1*р2*. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Предложение 3. Прямая jj)X-j=0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W0) многообразия W0 при отображении f. Дифференциальное уравнение линии f-1(W0) имеет вид: jj)Wj=0.

Теорема 3. Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f-1(W1), f-1(W2), f-1(W), f-1(W0) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§ 5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.

Рассмотрим отображения:

П1: (р1, р2)∊R (p1, p2)→p1∊A1 (5.1)

П2: (р1, р2)∊R (p1, p2)→p2∊A1 (5.2)

Отображение f: A2→R (p1, p2) порождает точечные отображения:

φ11∘f: A2→A1 (5.3)

φ22∘f: A2→A1 (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ1 и φ2 меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б). Подобъекты Г1,2={λjjk} и Г2,2={μjjk} объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ1 и φ2.

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+λjXj+½λjkXjXk+¼λyρkXjXk+<3>, (5.5)

y=-1+μjXj+½μjkXjXk+¼μyρkXjXk+<3>, (5.6)

Введем системы величин:

Λjkjk+¼(λjρkkρj),

Μjkjk+¼(μjρkkρj)

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λjXj+½ΛjkXjXk+<3> (5.7)

y=-1+μjXj+½ΜjkXjXk+<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А2, в котором выполняется:

λ1 λ2 1 0

=

μ1 μ2 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X1+½ΛjkXjXk+<3> (5.9),

y=-1+X2+½ΜjkXjXk+<3> (5.10).

§ 6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

Gjk=½(λjμkkμj)

Из (3.1) получим:

dGjk=½(dλjμkjμk+dλkμjkj)=½(μkλtWjt+¼λjμkμtWt-1\4μkμtλtWtkλjtWtjμtWkt+

+¼λjλkμtWt-¼μjλkμtWt-¼μjλtμkWtjλktWtkμtWjt+¼λkλjμtWt-¼λkλtμjWt+

kμjtWt),

dGjk=½(μkλtkμt)Wjt+½(λjμttμj)Wkt+GjktWt,

где Gjkt=½(μkλjtyμktjλktkμjt-½μjμkλt+½λjλkμt-¼λjμkλt+¼λjμkμt+¼μjλkμt-

-¼μjλkλt) (6.3).

Таким образом, система величин {Gjk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику G:

dS2=GjkWjWk (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS22-W2 (6.5) в R (p1, p2).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением GjkWjWk=0 или

λjWjμkWk=0 (6.6)

Предложение: Основные векторы V1 и V2 определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x, U) и (y, U') расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy, UU')

Теорема: Метрика dS22-W2 совпадает с метрикой Розенфельда.

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1, p2, p1+dp1, p2+dp2

Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W.

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§ 7), получаем

dS22-W2

Следствие: Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Гljk=½Gtl(Gtkj+Gjtk-Gjkt)

псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2={λjjjkjk}.

Он определяется формулой: ГljkjΛjklΜjklλtλklμtμk.

§ 7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

gjkjλkjμk (7.1)

Из (3.1) получаем:

dgjk=dλjλk+dλkλj+dμjμk+dμkμjkλtWjt+¼λkλjμtWt-¼λjλtμjWtkλjtWtjλtWkt+

+¼λjλkμtWt-¼λjλtμkWtjλktWtkμtWjt+¼μkλjμtWt-¼μkλtμjWtkμjtWt+

jμtWkt+¼μjλkμtWt-¼μjλtμkWtjμktWt.

dgjk=(λkλtkμt)Wjt+(λjλtjμt)Wkt+gjktWt, (7.2)

где gjkt=½λjλkμt-½μjμkλt-¼λkλtμj-¼λjλtμk+¼λjμkμt+¼μjλkμtkλjtjλkt+

kμjtjμkt (7.3)

Таким образом, система величин {gjk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А2инвариантную метрику g:

dS2=gjkWjWk (6'.4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6'.4) соответствует при отображении f метрике:

dS2=2(θ2+W2) (6'.5)

в R (p1, p2)

Из (6'.5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6'.6)

или jXj)2+(μjXj)2=1 (6'.7)

Из (6'.7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.

V1

V2 рис. 3.

Пусть gjkjλkjμk (6.8)

В силу (2.7) имеем:

gjtgtk=(λjλtjμt)(λtλktμk)=λjλkjμkkj (6'.9)

Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к gjk. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора j} (вектора j}) соответствует в метрике g полю основного ковектора j} (ковектора j}).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g.

Доказательство:

λjλkgjkjλkλjλkjλkμjμk=1,

μjμkgjkjμkλjλkjμkμjμk=1,

λjμkgjkjμkλjλkjμkμjμk=0.

Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства (A2, gf).

В работе <2> был построен охват объекта

γjkl=½gtl(gtkj+gjtk-gjkt)

римановой связности γ фундаментальным объектом

Г2={λjjjkjk}

Он определяется формулой:

γjkllΛjklMjk+Gjkll)+½(λll)(μjμkjλk),

где Gjk=½(λjμkkμj).