Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры

Всякий многочлен с любыми комплексными коэффициентами, степень которого не меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

План доказательства.

Лемма № 1. Многочлен f (x) является непрерывной функцией комплексного переменного x.

Лемма № 2. Если данн многочлен n-ой степени, n>0,

f (x)=a0xn+a1xn-1+…+an

с произвольными комплексными коэффициентами и если k— любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений

|anxn|>k|axn-1+anxn-2+…+a0|

Лемма № 3.

Лемма № 4.(Лемма Даламбера).

Лемма № 5.