Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Примеры

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

Пример № 1. Исследовать функции arcsin (1/x) и arccos (1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y = arcsin (1/x)

Д (f): | 1/x | ≤ 1 ,

| x | ≥ 1 ,

(- ∞; -1 ] U [ 1; + ∞)

Функция нечетная

(f (x) убывает на пр. [0;1], f (y) убывает на пр. [0;π/2])

Заметим, что функция y=arccosec (x) определяется из условий cosec (y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec (y)=x следует sin (y)=1/x, откуда

y=arcsin (1/x). Итак, arccos (1/x)=arcsec (x)

Д (f): (- ∞; -1 ] U [ 1; + ∞)

Пример № 2. Исследовать функцию y=arccos (x2).

Решение:

Д (f): [-1;1]

Четная

f (x) убывает на пр. [0;1]

f (x) возрастает на пр. [-1;0]

Пример № 3. Исследовать функцию y=arccos2(x).

Решение: Пусть z = arccos (x), тогда y = z2

f (z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.

f (y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0.

Пример № 4. Исследовать функцию y=arctg (1/(x2-1))

Решение:

Д (f): (- ∞; -1) U (-1; 1) U (1; +∞)

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

[ 0; 1) и (1; +∞)

X

0

< x <

1

< x <

+∞

u=1/(x2-1)

-1

+ ∞

— ∞

0

y=arctg (u)

— π/4

π/2

— π/2

0

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin (arcsin (x)) = x, cos (arccos (x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1])

tg (arctg (x)) = x , ctg (arcctg (x)) = x

(справедливо при любых x)

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

y=x и y=sin (arcsin (x))

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

Аргумент

функция

arcsin (x)

arccos (x)

arctg (x)

arcctg (x)

sin

sin (arcsin (x))=x

cos

x

tg

x

1 / x

ctg

1 / x

x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

  1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin (x)
  2. Перед радикалом следует взять знак «+», т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.

    Значит, имеем

  3. Из тождества следует:
  4. Имеем

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример № 1. Преобразовать выражение

Решение: Применяем формулу , имеем:

Пример № 2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

Пример № 3. Пользуясь

Пример № 4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

Пример № 5. Положив в формулах

, и

, получим:

,

Пример № 6. Преобразуем

Положив в формуле ,

Получим:

Перед радикалами взят знак «+», т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода — соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

Соотношения второго рода — соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай № 1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sinα θ заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), ρледовательно

Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:

А если бы дуга α была заключена в интервале (0; π), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

Так, например:

Аналогично:

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

  1. Выражение через арктангенс.
  2. Пусть , тогда

    Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-π/2; π/2).

    Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).

    Следовательно,

    (1)

    (в интервале (-1: 1)

  3. Выражение через арксинус.
  4. Т.к. , то (2)

    в интервале

  5. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество
  6. (3)

    Случай № 2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т. п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

    Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

    Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

    Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае

    Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.