Нестандартный анализ

Пусть некоторые множества натуральных чисел называются «большими», а некоторые — «малыми», причем выполнены следующие свойства:

  1. Любое множество натуральных чисел является либо большим, либо малым. Ни одно множество не является большим и малым одновременно.
  2. Дополнение (до N) любого малого множества является большим, дополнение любого большого множества — малым.
  3. Любое подмножество малого множества является малым, любое надмножество большого — большим.
  4. Объединение двух малых множеств является малым, пересечение дух больших множеств — большим.
  5. Всякое конечное множество является малым, всякое множество, имеющее конечное дополнение — большим.

С помощью такого ультрафильтра построим искомое неархимедово расширение поля действительных чисел.

Будем говорить, что последовательности эквивалентны, если равенство «выполнено почти при всех i «, т. е. Если множество тех i, при которых , большое. Согласно свойству 5 любые последовательности, отличающиеся в конечном числе членов, эквивалентны. С каждой последовательностью сопоставим ее класс эквивалентности — класс всех эквивалентных ей последовательностей. Получающиеся классы эквивалентности будут называться гипердействительными числами. Обыкновенные действительные числа вкладываются в множество гипердействительных чисел. Таким образом, *R оказывается, как мы того и хотели, расширением множества R.

Определим сложение и умножение на гипердействительных числах. Пусть класс содержит последовательность , класс — последовательность . Назовем суммой классов и класс, содержащий последовательность , а произведением последовательность . Корректность этих определений обеспечивается свойством 4 из определения ультрафильтра.

Итак, мы ввели на множестве гипердействительных чисел сложение, умножение и порядок. Нетрудно проверить, что мы получили упорядоченное поле, т. е. что в множестве гипердействительных чисел выполняются все обычные свойства сложения, умножения и порядка. Аксиома Архимеда, однако, в этом поле не выполняется.

ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЯ ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ

ТЕОРЕМЫ КОМПАКТНОСТИ

Рассмотрим другой метод построения поля гипердействительных чисел. Но прежде мы должны обсудить понятие логического языка и понятие интерпретации этого языка. Рассмотрим общее понятие односортного языка первого порядка.

Пусть фиксирован набор символов , элементы которого мы будем называть предикатными символами, и набор , элементы которого мы будем называть функциональными символами. Пусть каждому предикатному и функциональному символу сопоставлено некоторое натуральное число, называемое числом аргументов, или валентностью, соответствующего символа. В таком случае говорят, что задан некоторый язык.

Определим теперь понятие формулы данного языка. Выберем и зафиксируем бесконечную последовательность символов, называемых переменными. Пусть это будут например символы Определим в начале понятие терма. Именно (Т1) любая переменная и любой функциональный символ с нулем аргументов суть термы;

(Т2) если термы уже построены, а f — функциональный символ с m аргументами, то выражение есть терм.

Термами называются те и только те выражения, которые можно получить путем многократного применения правил (Т1) и (Т2). Определим теперь понятие формулы следующим образом:

(Ф1) если t и s термы, то (t=s) — формула; (Ф2) если — термы, а Р — предикатный символ с m аргументами, то Р) — формула; если Р — предикатный символ с нулем аргументов, то Р — формула; (Ф3) если Р и Q- формулы, то — формулы; (Ф4) если Р — формула, а — переменная, то и — формулы.

Формулами называют те и только те выражения, которые можно получить путем многократного применения правил (Ф1)-(Ф4).

Определить интерпретацию языка L означает:

  1. выбрать некоторое множество М — носитель интерпретации;
  2. с каждым предикатным символом Р валентности m сопоставить некоторый m-местный предикат;
  3. С каждым функциональным символом f валентности k сопоставить некоторую функцию F, ставящую в соответствие любой k-элементной последовательности элементов М некоторый элемент М: F:
.

Истинность формул зависит от выбора интерпретации и от значений переменных, входящих в эту формулу свободно. Если формула не содержит свободных вхождений, то ее истинность зависит только от выбора интерпретации. Формулы языка, не содержащие свободных вхождений переменных, называют суждениями данного языка. Как только мы зафиксировали какую-то интерпретацию языка, все суждения разделяются на истинные и ложные.