Некоторые функции высшей математики
1. Áýòà-ôóíêöèè 6
Бэта — функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
= (1.1)
сходятся при .Полагая =1 — t получим:
= - =
т.e. аргумент и входят в симетрично. Принимая во внимание тождество
по формуле интегрирования почестям имеем
Откуда
= (1.2)
7
При целом b = n последовательно применяя (1.2)
Получим
(1.3)
при целых = m,= n, имеем
но B (1,1) = 1, следовательно:
Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой , то
8
и в результате подстановки , получаем
полагая в (1.1) , откуда , получим
(1.4)
разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки , получим
=
2. Ãàììà-ôóíêöèÿ 9
Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода
G(a) = (2.1)
сходящийся при 0. Положим =ty, t > 0, имеем
G(a) =
и после замены , через и t через 1+t, получим
Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:
или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования, получаем:
10
откуда
(2.2)
заменяя в (2,1) , на и интегрируем по частям
получаем рекурентною формулу
(2.3)
так как
но при целом имеем
(2.4)
то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал. Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента. При n=1 в (2.4) имеем
3. Производная гамма функции 11
Интеграл
сходится при каждом , поскольку , и интеграл при сходится.
В области , где — произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области где произвольно. Действительно для всех указаных значений и для всех , и так как сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом, в области интеграл cходится равномерно.
Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и, и покажем, что интеграл :
12
сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так, чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое, что и на.Но тогда на справедливо неравенство
и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует, что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец, интеграл
в котором подынтегральная функция непрерывна в области
, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом, на интеграл
13
сходится равномерно, а, следовательно, гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство
.
Относительно интеграла можна повторить теже рассуждения и заключить, что
По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенство
Изучим теперь поведение — функции и построим єскиз ее графика .
Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при ,
14
Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении — функции на отрицательное значение .
Положим для, что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция .
Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. рис.1)
Отметим еще раз, что интеграл
определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .
15
(рис.1)
4. Вычисление некоторых интегралов. 16
Формула Стирлинга
Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
где m > -1,n > -1.Полагая, что , имеем
и на основании (2.2) имеем
(3.1)
В интеграле
Где k > -1,n > 0, достаточно положить
17
Интеграл
Где s > 0, разложить в ряд
=
где дзетта функция Римана
Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)
связанные неравенством
Разлагая, в ряд имеем
18
Переходя к выводу формулы Стирлинга, дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n, рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
(3.2)
Непрерывна на интервале (-1,) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0. Так как
то при u > 0 и при u < 0, далее имеем
И так производная непрерывна и положительна во всем интервале , удовлетворяет условию
19
Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,
Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие
(3.3)
Формулу Стирлинга выведем из равенства
полагая , имеем
Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при , и при .Замечая что (см. 3.2)
20
имеем
,
полагая на конец ,, получим
или
в пределе при т.е. при (см3.3)
откуда вытекает формула Стирлинга
которую можно взять в виде
21
(3.4)
где , при
для достаточно больших полагают
(3.5)
вычисление же производится при помощи логарифмов
если целое положительное число, то и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n
приведем без вывода более точную формулу
где в скобках стоит не сходящийся ряд.