Некоторые функции высшей математики

1. Áýòà-ôóíêöèè 6

Бэта — функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

= (1.1)

сходятся при .Полагая =1 — t получим:

= - =

т.e. аргумент и входят в симетрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда

= (1.2)

7

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

Получим

(1.3)

при целых = m,= n, имеем

но B (1,1) = 1, следовательно:

Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой , то

8

и в результате подстановки , получаем

полагая в (1.1) , откуда , получим

(1.4)

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки , получим

=

2. Ãàììà-ôóíêöèÿ 9

Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода

G(a) = (2.1)

сходящийся при 0. Положим =ty, t > 0, имеем

G(a) =

и после замены , через и t через 1+t, получим

Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:

или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования, получаем:

10

откуда

(2.2)

заменяя в (2,1) , на и интегрируем по частям

получаем рекурентною формулу

(2.3)

так как

но при целом имеем

(2.4)

то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал. Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента. При n=1 в (2.4) имеем

3. Производная гамма функции 11

Интеграл

сходится при каждом , поскольку , и интеграл при сходится.

В области , где — произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области где произвольно. Действительно для всех указаных значений и для всех , и так как сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом, в области интеграл cходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и, и покажем, что интеграл :

12

сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так, чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое, что и на.Но тогда на справедливо неравенство

и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует, что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец, интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом, на интеграл

13

сходится равномерно, а, следовательно, гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство

.

Относительно интеграла можна повторить теже рассуждения и заключить, что

По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенство

Изучим теперь поведение — функции и построим єскиз ее графика .

Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее, поскольку , то при . При из формулы следует, что при .

14

Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении — функции на отрицательное значение .

Положим для, что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция .

Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. рис.1)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .

15

(рис.1)

4. Вычисление некоторых интегралов. 16

Формула Стирлинга

Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

где m > -1,n > -1.Полагая, что , имеем

и на основании (2.2) имеем

(3.1)

В интеграле

Где k > -1,n > 0, достаточно положить

17

Интеграл

Где s > 0, разложить в ряд

=

где дзетта функция Римана

Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством

Разлагая, в ряд имеем

18