Моделирование значений случайных векторов
  1. Дисперсия постоянной величины равно нулю, т. е.
  2. , .

  3. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии возведя его в квадрат, т. е.
  4. .

  5. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме их дисперсий, т. е.

.

Можно доказать, что для случайных независимых величин

Линейное преобразование случайных векторов. Предположим, что

— случайный — мерный вектор с математическим ожиданием и корреляционной матрицей . Введем матрицу преобразования размером и сформируем мерный вектор

Можно показать справедливость следующих выражений

, .

— вектор математического ожидания

Если — случайный — мерный вектор, координаты которого являются центрированными случайными величинами, то для выражения

справедливо .

4. Исходные данные и обозначения.

Исходными данными для поставленной задачи являются характеристики моделируемого случайного — мерного вектора :

— ковариационная матрица, , ,

— вектор математического ожидания, .

В качестве вектора берется случайный вектор, координаты которого распределены по нормальному закону с параметрами:

— нулевой вектор математического ожидания, центрированная случайная величина равна самой случайной величине ,

— дисперсия, — ковариационная матрица.

То есть координаты вектора независимы (отсутствует корреляция между компонентами вектора).

Вектор задается с помощью генератора случайных чисел, встроенного в систему MATLAB, для этих целей подходит функция

,

которая формирует массив, соразмерный с матрицей , элементами которого являются случайные величины, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклонением 1.

5. Вывод неизвестных коэффициентов системы линейных уравнений.

Координаты выходного вектора могут быть получены из нормально распределенных независимых случайных величин — координат вектор следующим образом:

или

.

Можно переписать систему линейных уравнений в матричном виде:

,

где , , , .

Найдем элементы матрицы , выразив их через элементы матриц , , ,.

Так как , поэтому будем рассматривать

центрированные случайные величины, прибавив к которым соответствующие математические ожидания, получим искомые координаты выходного вектора.

Для этого рассмотрим ковариацию двух случайных величин

.

Так как

,

аналогично

,

используя приведенные выше свойства математического ожидания, и учитывая, что из исходных данных , получим

.

т.к. ,

таким образом, между элементами ковариационных матриц ,, и элементами матрицы линейного преобразования установлена следующая связь

,

или как было рассмотрено выше выражение в матричном виде

.

Так как нижнетреугольная матрица () и , то

.

Эти рекуррентные соотношения позволяют найти элементы матрицы

по элементам ковариационных матриц, , .

Рассмотрим двумерный массив , где каждый столбец рассматривается как переменная, а каждая строка — как наблюдение. Тогда выборочная матрица ковариации определяется следующим образом:

В системе MATLAB, присутствует функция , которая вычисляет матрицу ковариаций измерений (или выборочную матрицу ковариации).

Выборочная ковариационная матрица позволяет оценить соответствие моделируемых случайных векторов поставленной задачи.

6. Реализация программы в среде Matlab.

clear all;

n=3; размерность случайного вектора

N=100; количество наблюдений (объем выборки)

U=randn (n, N); генерация случайного вектора

cov_u = eye (n, n); ковариационная матрица

cov_ksi = 4*eye (n, n);

cov_ksi=[4 2 3; 2 9 6; 3 6 16]; ввод ковариационной матрицы

M_ksi=[-10; 0; 10]; ввод матрицы

M_ksi=zeros (n, 1);

A=zeros (n, n);

проверка размерности и

if (size (cov_ksi) ≅ n) | (size (M_ksi) ≅ n)

error ('Размерность матрицы сov_ksi или M_ksi не совпадает с n');

end

проверка корректности

for i=1:n,

if det (cov_ksi (1:i, 1: i)) <= 0

error ('Матрица сov_ksi не положительно определенна');

end

end

вычисление элементов матрицы

for i=1:n,

for j=1:i,

sum=0;

for k=1:(j-1),