Моделирование значений случайных векторов
- Дисперсия постоянной величины равно нулю,
т. е. - Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии возведя его в квадрат,
т. е. - Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме их дисперсий,
т. е.
, .
.
.
Можно доказать, что для случайных независимых величин
Линейное преобразование случайных векторов. Предположим, что
— случайный — мерный вектор с математическим ожиданием и корреляционной матрицей . Введем матрицу преобразования размером и сформируем мерный вектор
Можно показать справедливость следующих выражений
, .
— вектор математического ожидания
Если — случайный — мерный вектор, координаты которого являются центрированными случайными величинами, то для выражения
справедливо .
4. Исходные данные и обозначения.
Исходными данными для поставленной задачи являются характеристики моделируемого случайного — мерного вектора :
— ковариационная матрица, , ,
— вектор математического ожидания, .
В качестве вектора берется случайный вектор, координаты которого распределены по нормальному закону с параметрами:
— нулевой вектор математического ожидания, центрированная случайная величина равна самой случайной величине ,
— дисперсия, — ковариационная матрица.
То есть координаты вектора независимы (отсутствует корреляция между компонентами вектора).
Вектор задается с помощью генератора случайных чисел, встроенного в систему MATLAB, для этих целей подходит функция
,
которая формирует массив, соразмерный с матрицей , элементами которого являются случайные величины, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклонением 1.
5. Вывод неизвестных коэффициентов системы линейных уравнений.
Координаты выходного вектора могут быть получены из нормально распределенных независимых случайных величин — координат вектор следующим образом:
или
.
Можно переписать систему линейных уравнений в матричном виде:
,
где , , , .
Найдем элементы матрицы , выразив их через элементы матриц , , ,.
Так как , поэтому будем рассматривать
центрированные случайные величины, прибавив к которым соответствующие математические ожидания, получим искомые координаты выходного вектора.
Для этого рассмотрим ковариацию двух случайных величин
.
Так как
,
аналогично
,
используя приведенные выше свойства математического ожидания, и учитывая, что из исходных данных , получим
.
т.к. ,
таким образом, между элементами ковариационных матриц ,, и элементами матрицы линейного преобразования установлена следующая связь
,
или как было рассмотрено выше выражение в матричном виде
.
Так как нижнетреугольная матрица () и , то
.
Эти рекуррентные соотношения позволяют найти элементы матрицы
по элементам ковариационных матриц, , .
Рассмотрим двумерный массив , где каждый столбец рассматривается как переменная, а каждая строка — как наблюдение. Тогда выборочная матрица ковариации определяется следующим образом:
В системе MATLAB, присутствует функция , которая вычисляет матрицу ковариаций измерений (или выборочную матрицу ковариации).
Выборочная ковариационная матрица позволяет оценить соответствие моделируемых случайных векторов поставленной задачи.
6. Реализация программы в среде Matlab.
clear all;
n=3; размерность случайного вектора
N=100; количество наблюдений (объем выборки)
U=randn (n, N); генерация случайного вектора
cov_u = eye (n, n); ковариационная матрица
cov_ksi = 4*eye (n, n);
cov_ksi=[4 2 3; 2 9 6; 3 6 16]; ввод ковариационной матрицы
M_ksi=[-10; 0; 10]; ввод матрицы
M_ksi=zeros (n, 1);
A=zeros (n, n);
проверка размерности и
if (size (cov_ksi) ≅ n) | (size (M_ksi) ≅ n)
error ('Размерность матрицы сov_ksi или M_ksi не совпадает с n');
end
проверка корректности
for i=1:n,
if det (cov_ksi (1:i, 1: i)) <= 0
error ('Матрица сov_ksi не положительно определенна');
end
end
вычисление элементов матрицы
for i=1:n,
for j=1:i,
sum=0;
for k=1:(j-1),