Метод конечных разностей или метод сеток

ВВЕДЕНИЕ

Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.

Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток.

Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции.

Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным бигармоническим уравнением.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :

2

U = f

Заданное на области G={ (x, y): 0<=x<=a, 0<=y<=b }. Пусть также заданы краевые условия на границе области G .

U = 0 Y

x=0 b

Uxxx = 0

x=0

G

Ux = 0

x=a

Uxxx = 0 0 a X

x=a

U = 0 U = 0

y=0 y=b

Uy = 0 Uxx + Uyy = 0

y=0 y=b y=b

Надо решить эту задачу численно.

Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя для решения сеточных задач.

По нашей области G построим равномерные сетки Wx и Wy с шагами hx и hyсоответственно .

Wx={ x (i)=ihx, i=0,1…N, hxN=a }

Wy={ y (j)=jhy, j=0,1…M, hyM=b }

Множество узлов Uij=(x (i), y (j)) имеющих координаты на плоскости х (i),y (j) называется сеткой в прямоугольнике G и обозначается :

W={ Uij=(ihx, jhy), i=0,1…N, j=0,1…M, hxN=a, hyM=b }

Сетка W очевидно состоит из точек пересечения прямых x=x (i) и y=y (j).

Пусть задана сетка W.Множество всех сеточных функций заданных на W образует векторное пространство с определённом на нём сложениемфункций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определитьразностные или сеточные операторы. 0ператор A преобразующий сеточную функцию U в сеточную функцию f=AU называется разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки используемое при написании разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора.

Простейшим разностным оператором является оператор дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные. Пусть W — сетка с шагом h введённая на R т. е.

W={Xi=a+ih, i=0, + 1, + 2…}

Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции Yi=Y (Xi), Xi из W, определяется по формулам :

L1Yi = Yi — Yi-1, L2Yi=L1Yi+1

h

и называются соответственно левой и правой производной. Используется так же центральная производная :

L3Yi=Yi+1 — Yi-1 = (L1+L2)Yi

2h 2

Разностные операторы A1, A2, A3 имеют шаблоны состоящие 2х точек и используются при апроксимации первой производной Lu=u'. Разностные производные n-ого порядка определяются как сеточные функции получаемые путём вычисления первой разностной производной от функции, являющейся разностной производной n-1 порядка, например :

Yxxi=Yxi+1 — Yxi= Yi-1−2Yi+Yi+1

2

h h

Yxxi= Yxi+1-Yxi-1= Yi-2 — 2Yi+Yi+ 2

2

2h 4h

которые используются при апроксимации второй производной. Соответствующие разностные операторы имеют 3х точечный шаблон.

Анологично не представляет труда определить разностные производные от сеточных функций нескольких переменных.

Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных. И применим к получившейся сеточной задаче метод Зейделя.

МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ

Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный метод Зейделя.

Пусть нам дана система линейных уравнений :

AU = f

или в развёрнутом виде :

M

aijUj = fi, i=1,2…M

i=1

Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы А=(aij) отличны от нуля (aii<>0) записывается в следующем виде :

i (k+1)M (k)

aijYj + aijYj = fi, i=1,2…M

j=1 j=i+1

(k)

где Yj — jая компонента итерационного приближения номера k. В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор.

Определение (k+1)-ой итерации начинается с i=1

(k+1) M (k)

a11Y1 = - a1jYj +f1

j=2

(k+1)

Так как a11<>0 то отсюда найдём Y1. И для i=2 получим :

(k+1)(k+1) M (k)

a22Y2 = - a21Y1 — a2jYj + f2

j=3

(k+1) (k+1) (k+1) (k+1)

Пусть уже найдены Y1, Y2Yi-1. Тогда Yi находится из уравнения :

(k+1) i-1 (k+1) M (k)

aiiYi = - aijYj - aijYj + fi (*)

j=1 j=i+1