Метод касательных решения нелинейных уравнений

Пензенский приборостроительный колледж

Метод касательных решения нелинейных уравнений

Выполнил: Ст-т 22п группы ЛЯПИН Р.Н.

Проверила: ______________

Ковылкино — 1999 г.

ЗАДАНИЕ

студент Ляпин Р.Н. группа 22п

  1. Тема: «Метод касательных решения нелинейных уравнений».
  2. Изучить теоретический материал по заданной теме.
  3. Составить блок схему алгоритма решения задачи .
  4. Написать программу на языке Турбо-Паскаль для решения задачи в общем виде.
  5. Выполнить программу с конкретными значениями исходных данных.
  6. Определить корни уравнения х3 + 0,1 * х2 + 0,4 * х — 1,2 = 0 аналитически и уточнить один из них с точностью до 0,1 методом касательных
  7. Срок представления работы к защите: 10 мая 1999 г.
  8. Исходные данные для исследования: научная и техническая литература.

Руководитель курсовой работы:Кривозубова С.А.

Задание принял к исполнению:Ляпин Р.Н.

РЕФЕРАТ

Курсовая работа содержит: страниц, 1 график, 5 источников.

Перечень ключевых понятий: производная, метод касательных, программирование, нелинейное уравнение.

Объект исследования: Корни нелинейного уравнения.

Цель работы: Определение корней нелинейного уравнения.

Методы исследования: изучение работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме.

Полученные результаты: изучен метод касательных решения нелинейных уравнений; рассмотрена возможность составления программы на языке программирования Турбо-Паскаль 7.0

Область применения: в работе инженера.

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ… 5

1. Краткое описание сущности метода касательных

(метода секущих Ньютона)… 7

2. Решение нелинейного уравнения аналитически . 9

3. Блок схема программы … 11

4. Программа на языке PASCAL 7.0 … 12

5. Результаты выполнения программы … 13

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ … 14

ВВЕДЕНИЕ

Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов:

  1. Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем или получается им в виде задания).
  2. Математическая формулировка задачи.
  3. Разработка алгоритма решения задачи.
  4. Написание программы на языке программирования.
  5. Подготовка исходных данных .
  6. Ввод программы и исходных данных в ЭВМ.
  7. Отладка программы.
  8. Тестирование программы.
  9. Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов.

В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами: детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже результату; массовость, позволяющей получать результат при различных исходных данных; результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов.

Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию.

Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002−80 и ГОСТ 19.003−80.

На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач.

Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание.

В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея.

Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения.

Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение.

Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия.

1. Краткое описание сущности метода касательных

(метода секущих Ньютона)

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f ' и f «.

Так как f '(x) № 0, то запишем уравнение f (x) = 0 в виде :

x = x — (f (x) / f '(x)) (1)

Решая его методом итераций можем записать :

xn+1 = x n— (f (x n) / f '(x n)) (2)

Если на отрезке [a;b] f '(x) * f «(x) > 0, то нул — евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y=f (x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f «(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид :

y = f (b) + f '(b) * (x — b)

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f '(x) № 0, решаем его относительно x. Получим :

x = b — (f (b) /f ‘(b))

Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox :

x1 = b — (f (b) — f ' (b))

Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox:

x2 = x1 — (f (x1) / (f '(x1))

Вообще :

xk+1 = x k — (f (x k) / f '(x k)) (3)

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек. Начальное приближение x 0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу ]a;b[. В случае существования производных f ', f «, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f '(х0) * f (х0) > 0. Для оценки приближения используется общая формула :

|c-x k-1 | Ј | f (x k+1)/m|, где m = min f '(x) на отрезке [a;b] .

На практике проще пользоваться другим правилом:

Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и e — заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k| Ј e влечет выполнение неравенства |c-x k-1| Ј e .

В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство :

|c-x k-1| Ј e .

2. Решение нелинейного уравнения аналитически

Определим корни уравнения х3 + 0,1х2 + 0,4х — 1,2 = 0 аналитически. Находим: f (x) = х3 + 0,1х2 + 0,4х — 1,2

f ‘ (x) = 3х2 + 0,1х + 0,4

f (-1) = -2,5 < 0 f (0) = -1,2 < 0 f (+1) = 0,3 > 0

x

— Ґ

-1

0

+1

+ Ґ

sign f (x)

-

-

-

+

+

Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 0; +1 ].

Приведем уравнение к виду x = j (x), так, чтобы | j ‘ (x) | <1 при 0 Ј x Ј +1.

Так как max | f '(x) | = f '(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5 то можно взять R = 2.

Тогда j (x) = x — (f (x) / R) = x — 0,5 х3 — 0,05 х2 — 0,2 х + 0,6 = - 0,5 х3 — 0,05 х2 + 0,8 х + 0,6.

Пусть х0 = 0, тогда х n+1 = j (х n).

Вычисления расположим в таблице.

n

хn

х2n

х3n

j (хn).

f (x)

1

1

1

1

0,85

-0,17 363

2

0,85

0,7225

0,614 125

0,9 368 125

0,8 465

3

0,9 368 125

0,87 761 766

0,822 163 194

0,89 448 752

-0,4 651

4

0,89 448 752

0,800 107 923

0,715 686 552

0,917 741 344

0,24 288

5

0,917 741 344

0,842 249 174

0,772 966 889

0,905 597 172

-0,1 306

6

0,905 597 172

0,820 106 238

0,74 268 589

0,912 129 481

0,6 923

7

0,912 129 481

0,83 198 019

0,758 873 659

0,908 667 746

-0,0037

8

0,908 667 746

0,825 677 072

0,750 266 124

0,910 517 281

0,1 968

9

0,910 517 281

0,829 041 719

0,754 856 812

0,909 533 333

-0,105

10

0,909 533 333

0,827 250 884

0,752 412 253

0,910 057 995

0,559

11

0,910 057 995

0,828 205 555

0,753 715 087

0,909 778 575

-0,0003

12

0,909 778 575

0,827 697 055

0,753 021 048

0,909 927 483

0,159

13

0,909 927 483

0,827 968 025

0,753 390 861

0,909 848 155

-8,5E-05

14

0,909 848 155

0,827 823 665

0,753 193 834

0,909 890 424

4,5E-05

15

0,909 890 424

0,827 900 583

0,753 298 812

0,909 867 904

-2,4E-05

16

0,909 867 904

0,827 859 602

0,753 242 881

0,909 879 902

1,28E-05

17

0,909 879 902

0,827 881 437

0,753 272 681

0,90 987 351

-6,8E-06

18

0,90 987 351

0,827 869 803

0,753 256 804

0,909 876 916

3,63E-06

19

0,909 876 916

0,827 876 002

0,753 265 263

0,909 875 101

-1,9E-06

20

0,909 875 101

0,827 872 699

0,753 260 756

0,909 876 068

1,03E-06

График функции y = х3 + 0,1х2 + 0,4х — 1,2

3. Блок схема программы

4. Программа на языке PASCAL 7.0

program metod_kasatel;{Название программы}

uses Crt; {Модуль дисплейных функций}

var {Блок описаний переменных}

xn, xn1, a, b, c, mx, y0, x0 :real;

function f1(x1:Real): Real; {Основная функция}

begin

f1 := x1*x1*x1*(-0.5)-0.05*x1*x1+0.8*x1+0.6;

end;

function f2(x4:Real): Real; {Производная от основной функции}

begin

f2 := x4*x4*x4+0.5*x4*x4+0.1*x4*x4+0.4*x4−1.2;

end;

begin {Начало основного тела программы}

Clrscr; {Очистка экрана перед выполнением программы}

a:=0;b:=1;c:=0.1;

Writeln(' От A=', a,' до B=', b); {Вывод на экран}

Writeln(' Погрешность с=', c);

Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}

xn:=b;