Матричный анализ
Матричный анализ
. Функции от матриц.
- Определение функции.
- Свойства функций от матриц.
Df. Пусть — функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f (A),
Решение этой задачи известно, когда f (x) — многочлен: , тогда .
Определение f (A) в общем случае.
Пусть m (x) — минимальный многочлен, А и он имеет такое каноническое разложение , , — собственные значения А. Пусть многочлены g (x) и h (x) принимают одинаковые значения.
Пусть g (A)=h (A) (1), тогда многочлен d (x)=g (x)-h (x) — аннулирующий многочлен для А, так как d (A)=0, следовательно, d (x) делится на линейный многочлен,
Тогда ,
Условимся m чисел для f (x) таких называть значениями функции f (x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать .
Если множество f (Sp A) определено для f (x), то функция определена на спектре матрицы А.
Из (3) следует, что многочлены h (x) и g (x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.
Наши рассуждения обратимы,
Значения функции f (x) на спектре матрицы, А должны полносильно определить f (A),
Df. Если f (x) определена на спектре матрицы А, то f (A)=g (A), где g (A) — многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f (A),
Df.Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при .
Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f (x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f (x) — это остаток от деления любого многочлена g (x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f (x), на минимальный многочлен m (x)=g (x)=m (x)*g (x)+r (x).
Этот многочлен r (x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f (x) на спектре матрицы А.
Замечание. Если минимальный многочлен m (x) матрицы, А не имеет кратных корней,
Пример:
Найти r (x) для произвольной f (x), если матрица
. Построим f (H1). Найдем минимальный многочлен H1 — последний инвариантный множитель [xE-H1]:
, dn-1=x2; dn-1=1;
mx=fn(x)=dn(x)/dn-1(x)=xnЮ0 — n -кратный корень m (x),
, r (0)=f (0), r'(0)=f'(0),…, r(n-1)(0)=f(n-1)(0) Ю.
Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а , то собственными значениями матрицы f (A) являются собственные значения многочлена f (x): .
Доказательство:
Пусть характеристический многочлен матрицы, А имеет вид:
, , . Посчитаем . Перейдем от равенства к определителям:
Сделаем замену в равенстве:
(*)
Равенство (*) справедливо для любого множества f (x), поэтому заменим многочлен f (x) на , получим:
.
Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f (A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что — собственные значения матрицы f (A).
ЧТД.
Свойство № 2. Пусть матрица и — собственные значения матрицы А, f (x) — произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f (A) равны .
Доказательство:
Т.к. функция f (x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r (x) такой, что , а тогда f (A)=r (A), а у матрицы r (A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны .
ЧТД.
Свойство № 3. Если, А и В подобные матрицы, ,
Доказательство:
Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы Ю одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f (x) на спектре матрицы, А совпадает со значение функции f (x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r (x) такой, что f (A)=r (A), , Ю.
ЧТД.
Свойство № 4. Если, А — блочно-диагональная матрица , то
Следствие: Если , то , где f (x) — функция, определенная на спектре матрицы А.
- Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.
Случай № 1.
Пусть дана . Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных,
.
Пусть f (x) — функция, определенная на спектре матрицы, А и значениями этой функции на спектре будут . Надо построить .
Построим:
.
Обратим внимание, что .
Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .
Построим базисные многочлены:
Тогда для функции f (x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:
.
Возьмем , тогда интерполяционный многочлен
.
Случай № 2.
Характеристический многочлен матрицы, А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни,
Случай № 3.
Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:
,
где m1+m2+…+ms=m, deg r (x)<m.
Составим дробно-рациональную функцию:
и разложим ее на простейшие дроби.
Обозначим: . Умножим (*) на и получим
где — некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при .
Если в (**) положить , получим:
Для того, чтобы найти ak3 надо (**) продифференцировать дважды
После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m (x) и получим интерполяционный многочлен r (x),
.
Пример: Найти f (A), если , где t — некоторый параметр,
.
Найдем минимальный многочлен матрицы А:
.
Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А
Умножим (*) на (х-3)
при х=3
Ю
Умножим (*) на (х-5)
.
Таким образом, — интерполяционный многочлен.
Пример 2.
Если , то доказать, что
Найдем минимальный многочлен матрицы А:
— характеристический многочлен.
d2(x)=1, тогда минимальный многочлен
.
Рассмотрим f (x)=sin x на спектре матрицы:
Ю функция является определенной на спектре.
Умножим (*) на
Ю.
Умножим (*) на :
.
Вычислим g, взяв производную (**):
. Полагая ,
,
Итак, ,
,
,
.
ЧТД.
Пример 3.
Пусть f (x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r (x) для функции f (x).
Решение: По условию f (x) определена на спектре матрицы, А Ю f (1), f'(1), f (2), f ‘(2), f ‘' (2) определены.
.
.
Используем метод неопределенных коэффициентов:
Если f (x)=ln x
f (1)=0 f'(1)=1
f (2)=ln 2 f'(2)=0.5 f''(2)=-0.25
4. Простые матрицы.
Пусть матрица , так как С алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен , где , ki — алгебраическая кратность корня .
Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению — подпространство, , где r — ранг матрицы .
Теорема. Если квадратная матрица, А имеет собственное значение , а матрица имеет , то имеет кратность .
DF. Размерность называется геометрической кратностью собственного значения .
В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом:
Теорема. Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности.
DF. Матрица называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью.
Из линейной алгебры следует, что матрица простая тогда и только тогда, когда .
Если матрица, А простая, тогда существует n линейно независимых собственных векторов x1, x2, …, xn таких, что , для . Запишем это равенство в матричном виде:
,
Замечание. Обратим внимание на то, что собственные значения, А и А' совпадают. Действительно, собственные значения для А' это значения . Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность , тогда . Поэтому, если — собственное значение матрицы А, то и является собственным значением матрицы А',
Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица, А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x1, x2, …, xn и существует n линейно независимых собственных векторов y1, y2,…, yn, где x1, x2, …, xn такие, что , (1); y1, y2,…, yn такие, что (2), .
Запишем равенство (1) в виде (3) Ю что, если, А — простая, то существуют матрицы X и Y, что или (**).
DF. Множества векторов x1, x2, …, xn и y1, y2,…, yn удовлетворяющие условию ,
Учитывая равенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы, А квазиортогональны и .
Очень важной для матриц является следующая теорема:
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. Если, А — простая матрица порядка n над полем С и p (x) многочлен из кольца C[x], и x1, x2, …, xn и y1, y2,…, yn — множества правых и левых собственных векторов матрицы А, то , а сопутствующая матрица , где .
Следствие. Сопутствующие матрицы обладают следующими свойства:
Пример. Показать, что матрица простая. Найти сопутствующие матрицы для матрицы, А и использовать их для А20, p (x)=x20.
Решение:
Ю
существуют 2 линейно независимые правые и левые системы собственных векторов.
Найдем правые собственные векторы:
Найдем левые собственные векторы:
Найдем сопутствующие матрицы:
.
5.Спектральное разложение функции f (A).
Спектральное разложение для f (A) имеет важное значение и очевидно тесно примыкает к спектральной теореме для простых матриц.
Пусть дана матрица и пусть , .
Теорема. Если , а функция f (x) определена на спектре матрицы, А и — значение j-й производной от f (x) в собственном значении , где , , то существуют такие независимые от f (x) матрицы , что (1) , при чем коммутирует с матрицей, А и образуют линейно независимую систему в пространстве
Доказательство:заметим, что и , где — базисные многочлены, принимающие одинаковые значения на спектре матрицы А, (3). Сравнивая (1) и (2) и учитывая (3) получим, что . Матрицы называются компонентами матрицы, А или компонентными матрицами.
ЧТД.
Опишем следующие свойств компонентных матриц, которые в некоторой степени обобщают свойства сопровождающих матриц.
Теорема. Компонентные матрицы обладают следующими свойствами:
.
Замечание. Для того, чтобы найти компонентные матрицы для f (x) определенной на спектре матрицы, А необходимо и достаточно знать базисные многочлены, входящие в интерполяционный многочлен, однако нахождение интерполяционного многочлена f (x) связано с некоторыми трудностями, а поэтому будем вычислять компонентные матрицы подбирая соответствующим образом системы функций.
Пример: Найти компоненты для матрицы .
.
Пусть f (x) определена на спектре А, тогда согласно спектральной теореме .
- f (x)=1
- f (x)=x-4
- f (x)=(x-4)2
E=1Z11+0Z12+1Z21=Z11+Z21
A-4E=0Z11+1Z12+(-2)Z21=Z12-2Z21
(A-4E)2=4Z21
.
Таким образом, для любой функции f (x), определенное на спектре матрицы А
.
Пример 2.
Найти компоненты для матрицы
.
Найдем минимальный многочлен матрицы А.
- f (x)=1
- f (x)=x+1
- f (x)=(x+1)2
- f (x)=x-1
E=Z11+Z21+Z31
(A+E)=2Z21+Z31+Z12
(A+E)2=4Z21+Z31
A-E=-2Z11+Z12-Z31
1. f (x)=1 E=Z11+Z21+Z31
2. f (x)=x+1 A+E=Z11Z22+2Z31
3. f (x)=(x+1)2 (A+E)2=Z11+4Z31
4. f (x)=x-1 (A-E)=-Z11-2Z21+Z22
Z31=A
-Z22=(A+E)2-E-3A
Z12=Z22
Z11=(E-A)-Z22
6.Определенные матрицы.
Эрмитовы и квадратичные матрицы.
Пусть, А — эрмитова матрица (А*=А).
Рассмотрим функцию h (x) — действительная функция комплексного аргумента.
Рассмотрим:
DF. Функция , где, А — эрмитова матрица, называется эрмитовой формой от n переменных x1, …, xn, где, А — матрица эрмитовой формы.
Очевидно, что если, А — действительная симметрическая матрица, то в этом случае получаем квадратичную форму .
Для каждой эрмитовой (квадратичной) формы инвариантами являются: ранг (число не нулевых коэффициентов в квадратичной форме нормального вида совпадающих с рангом матрицы А), p (индекс) — число положительных коэффициентов в квадратичной форме нормального вида, оно совпадает с числом положительных собственных значений, сигнатура. Эти числа r, p, гр-r не зависят от тех преобразований, которые совершаются над данными формами.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением только квадратичных форм. Нас интересуют 2 семейства матриц.
DF. Действительная симметрическая матрица, А называется положительно определенной, если для .
DF. Действительная симметрическая матрица, А называется неотрицательно определенной, если для .
Оба типа матриц относятся к классу определенных матриц. Заметим, что положительно определенная матрица невырожденная,
Теорема № 1. Действительная симметрическая матрица n-го порядка будет определенной ранга тогда и только тогда, когда она имеет r положительных собственных значений, а остальные (n-r) — собственные значения равны 0.
Теорема № 2. Действительная симметрическая матрица положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.
Теорема № 3. Действительная симметрическая матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.
7.Неотрицательные матрицы.
DF. Матрица называется неотрицательной, если каждый ее элемент положителен.
Квадратные матрицы такого типа возникают во множестве задач и это определяющее свойство приводит к сильным результатам об их строении. Теорема Фробениуса-Перона является основным результатом для неотрицательных матриц.
Пусть матрицы . Будем говорить, что , если б в частности A>B, если .
Вспомним матрицу перестановки ,
DF. При матрица называется приводимой матрицей, если существует такая матрица перестановки Р, что совподает с матрицей , где А11, А12, А22 — квадратные матрицы меньшего чем n порядка. Если матрица Р не существует, то матрица, А называется неприводимой.
Понятие приводимости имеет значение при решении матричных уравнений , ибо если Ф — приводима, то осуществив замену переменных, которую подсказывают равенства , получаем
, где , .
и решаем матричное уравнение с матрицей более низкого порядка. Затем, и решаем матричное уравнение. Таким образом, если, А — приводима, то решение уравнения высокого порядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственные значения матриц А11 и А22 в своей совокупности составляет множество значений матрицы А.
Интересно, что явление приводимости не связано с величиной матрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице.
В связи с этим, используют идею направленного графа матрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы. Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимости матриц.
DF. Пусть р1, р2, …, рn — n различных точек комплексной плоскости и . Для каждого нулевого элемента матрицы, А составим направленную линию от рi к рj. Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленным графом матрицы.
Например:
DF. Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек существует направленный путь .
Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным.
8.Теорема Фробениуса-Перона.
Очевидно, что если , то для . Более того, мы покажем, что для достаточно больших p .
Лемма № 1. Если матрица неотрицательна и неприводима, то .
Доказательство:
Если взять произвольный вектор и , то . И пусть вектор имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим , тогда и разбив матрицу, А на блоки следующим образом
мы будем иметь .
Учитывая, что , то , тогда получаем, что , что противоречит неприводимости матрицы.
Для следующего вектора повторим рассуждения
ЧТД.
Для ненулевой неприводимой матрицы, А рассмотрим действительную функцию r (x), определенную для ненулевых векторов следующим образом: , (Ax)i — i-я координата вектора Ах.
. Из определения следует, что и кроме того, r (x) -такое наименьшее значение , что .
Очевидно, что r (x) инвариантна относительна замены x на , поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество , такое .
Однако, r (x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов и обозначим . По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому т.е. для .
Обозначим через наибольшее число, для которого , . — спектральный радиус матрицы А. Если Можно показать, что существует вектор y, что .
Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r (x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы, А (Az=rz).
Интерес к числу r объясняется следующим результатом.