Математический анализ

ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ, БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО, ПРЕДЕЛА, НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.

ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал, содержащий эту точку.

ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т. Хо называется окрестность т. Хо, из которой выброшена сама точка.

ОКРЕСТНОСТЬЮ «+» БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (а;+).

ОКРЕСТНОСТЬЮ «-» БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (- ;b).

ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух любых окрестностей + и —.

Функция f (х) называется бесконечно малой в окрестности т. Хо, если для любого числа >0 существует проколотая окр. т. Хо такая, что для любого числа Х, принадлежащего прокол. окр. т. Хо выполняется неравенство іf (х) і<.

>0 U U => іf (x) і< Число, А называется пределом ф-ции f (х) в т. Хо, если в некоторой прок. окр. этой точки ф-цию f (х) можно представить в виде f (х) =А+ (х), где (х) -бесконечно малое в окрестности т. Хо.

limf (x) =А Ф-ция f (х) называется непрерывной в т. Хо, если в некоторой окр. т. Хо эту ф-цию можно представить в виде: f (х) =f (х) + (х), где (х) -б. м. в окр. т. Хо.

Иными словами, f (х) -непрерывна в т. Хо, если она в этой точке имеет предел и он равен значению ф-ции.

ТЕОРЕМА: Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке области определения.

Схема: 1. ф-я элементарна 2. определена 3. непрерывна 4. предел равен значению ф-ции 5. значение ф-ции равно 0 6. можно представить в виде б. м.