Линейная зависимость векторов
Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.
r= r
d=p+rcosj
e=r/p+rcosj
— полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.
КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0) — точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:
у-у0=y'(x0)(x-x0)
Рассмотрим касательную к кривой следовательно
ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0
— уравнение касательной к эллипсу.
— уравнение касательной к гиперболе.
— уравнение касательной к параболе.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.
Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.
Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:
(е1;е1')=cos u
(е1;е2')=cos (90+u)= -sin u
(е2;е1')=cos (90-u)=sin u
(е2;е2')=cos u
Базис рассматривается ортонормированный:
(е1;е1')=(е1, a11е1+a12е2)= a11
(е1;е2')= (е1, a21е1+a22е2)= a21
(е2;е1')= a12
(е2;е2')= a22
Приравниваем:
a11=cos u
a21= - sin u
a12=sin u
a22=cos u
Получаем:
x=a+x'cos u — y’sin u
y=b+x'sin u — y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.
------------
x=a+x'
y=b+y' - формулы параллельного переноса
ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.
Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3
Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.
Определение:
I2>0 — элиптический тип
I2<0 — гиперболический тип
I2=0 — параболический тип
ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).
Параллельный перенос:
Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO' т.о. что бы в системе X’O’Y' коэфф. при x' и y' преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:
a11x'2+2a12x’y'+a22y'2+a'33=0 (2)
точка О' находится из условия: a13'=0 и a23'=0.
Получается система a11x0+a12y0+a13=0 и a12x0+a22y0+a23=0
Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f (x';y')=0, f (-x';-y')= f (x';y')
Но точка О' существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля.
Точка O' - единственная точка.
Центр симметрии кривой существует если I2¹0
Поворот:
Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y'
, после такого преобразования уравнение принимает вид
a11'x'2+a22'y'2+2a13'x'+2a23'y'+a33'=0 (3)
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть задана линия элиптического типа
Доказательство:
1. пусть I2>0, I1>0, I3<0, тогда
а11''x''2+a22'' y''2= -I3/I2
I2=a11''a22'' > 0
I1= a11''+a22'' > 0
a11'' > 0; a22'' > 0
Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.
2. I3>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.
3. I3=0 в данном случае т (0,0) — случай вырождения эллипса.
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа.
Доказательство: I2<0; I2= a11''a22'' < 0. Пусть a11''>0; a22''<0
Пусть I3>0
В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.
Пусть I3<0
-(-а11'')x''2+a22'' y''2= -I3/I2
В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY
Пусть I3=0
а11''x''2-(-a22'')y''2=0
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u (x, y)= a11x2+2a12xy+a22y2
Определение: ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.
(a, b) — вектор асимптотического направления.
a11a2+2a12ab+a22b2=0 (*)
Рассмотрим (a', b') параллельный (a, b): следовательно . Дробь a/b характеризует вектор асимптотического направления.
Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.
Решение: положим, что b¹0 и поделим на b2, получим: a11(a/b)2+2a12a/b+a22=0 из этого квадратного уравнения найдем a/b.
т.к. у линий гиперболического и параболического типов I2£0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).
Найдем асимптотические направления у гиперболы:
(a, b)1=(a, b)
(a, b)2=(-a, b)
Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.
Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.
Найдем асимптотические направления у параболы:
y2=2px
y2-2px=0
u (x, y)= y2+0, y=0
(a, b)=(0,0)
Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы,
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
Пусть задано трехмерное пространство.
Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A, B, C¹0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.
Теорема: Вектор n (A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.
Вектор n — нормальный вектор плоскости.
2. Уравнение плоскости в отрезках:
3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.
Пусть n (A, B, C) и М (x0;y0;z0). Запишем ур-е пл-ти:
Ax+By+Cz+D=0
Ax0+By0+Cz0=-D
A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0
- Уравнение плоскости ч/з 3 точки.
- Параметрическое ур-е плоскости.
Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.
М1(x1;y1;z1); М2(x2;y2;z2); М3(x3;y3;z3)
Пусть М (x;y;z) — произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.
М1М x-x1 y-y1 z-z1
М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0
М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1
Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V (V1;V2;V3); U (U1;U2;U3); M0(x0;y0;z0), тогда плостость имеет вид: система: x=x0+V1t+U1s и y=y0+V2t+U2s и z=z0+V3t+U3s
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.
Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0)
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2=0, поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.