Линейная зависимость векторов

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= r

d=p+rcosj

e=r/p+rcosj

 — полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0) — точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у0=y'(x0)(x-x0)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0

 — уравнение касательной к эллипсу.

 — уравнение касательной к гиперболе.

 — уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

11')=cos u

12')=cos (90+u)= -sin u

21')=cos (90-u)=sin u

22')=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

11')=(е1, a11е1+a12е2)= a11

12')= (е1, a21е1+a22е2)= a21

21')= a12

22')= a22

Приравниваем:

a11=cos u

a21= - sin u

a12=sin u

a22=cos u

Получаем:

x=a+x'cos u — y’sin u

y=b+x'sin u — y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x'

y=b+y' - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I2>0 — элиптический тип

I2<0 — гиперболический тип

I2=0 — параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO' т.о. что бы в системе X’O’Y' коэфф. при x' и y' преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a11x'2+2a12x’y'+a22y'2+a'33=0 (2)

точка О' находится из условия: a13'=0 и a23'=0.

Получается система a11x0+a12y0+a13=0 и a12x0+a22y0+a23=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f (x';y')=0, f (-x';-y')= f (x';y')

Но точка О' существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля.

Точка O' - единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если Iт. е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y' т. е. мы делаем коэфф. а12=0. a12'= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a11'x'2+a22'y'2+2a13'x'+2a23'y'+a33'=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т. е. I2>0 и пусть I1>0следовательно уравнение (1) определяет: 1. I3<0 — эллипс; 2. I3=0 — точка; 3. I3>0 — ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I2>0, I1>0, I3<0, тогда

а11''x''2+a22'' y''2= -I3/I2

I2=a11''a22'' > 0

I1= a11''+a22'' > 0

a11'' > 0; a22'' > 0

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I3>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I3=0 в данном случае т (0,0) — случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т. е. I2<0, I0 — ур-е (1) определяет гиперболу; I3=0 — пару пересекающихся прямых.

Доказательство: I2<0; I2= a11''a22'' < 0. Пусть a11''>0; a22''<0

Пусть I3>0

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I3<0

-(-а11'')x''2+a22'' y''2= -I3/I2

В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

Пусть I3=0

а11''x''2-(-a22'')y''2=0

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u (x, y)= a11x2+2a12xy+a22y2

Определение: ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

(a, b) — вектор асимптотического направления.

a11a2+2a12ab+a22b2=0 (*)

Рассмотрим (a', b') параллельный (a, b): следовательно . Дробь a/b характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение: положим, что b¹0 и поделим на b2, получим: a11(a/b)2+2a12a/b+a22=0 из этого квадратного уравнения найдем a/b.

т.к. у линий гиперболического и параболического типов I0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

(a, b)1=(a, b)

(a, b)2=(-a, b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y2=2px

y2-2px=0

u (x, y)= y2+0, y=0

(a, b)=(0,0)

Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т. е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A, B, C¹0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n (A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n — нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках:

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n (A, B, C) и М (x0;y0;z0). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax0+By0+Cz0=-D

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

  1. Уравнение плоскости ч/з 3 точки.
  2. Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

    М1(x1;y1;z1); М2(x2;y2;z2); М3(x3;y3;z3)

    Пусть М (x;y;z) — произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

    М1М x-x1 y-y1 z-z1

    М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0

    М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1

  3. Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V (V1;V2;V3); U (U1;U2;U3); M0(x0;y0;z0), тогда плостость имеет вид: система: x=x0+V1t+U1s и y=y0+V2t+U2s и z=z0+V3t+U3s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0)

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2=0, поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.