Комплексные числа

§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.

Определение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе — уравнение в частных производных.

Определение.

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.

Определение.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.

(1)

Пусть выбран любой, где , и его норма:

— дифференциальный оператор.

 — запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2)

Определение.

Открытое, связное множество называется областью.

По умолчанию будем считать область ограниченной.

Через или будем обозначать границу области.

Определение.

 — (n-1)-мерное многообразие S в принадлежит классу (), если

для и такие, что:

, где

однозначно проектируется на плоскость , при этом:

D — проекция данного множества на плоскость ,  — k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.

Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.

 — множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.

 — множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в .

, аналогично .

 — множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.

Аналогично: .

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.

.

 — матрица квадратичной формы.

 — n вещественных собственных значений матрицы A

 — количество положительных собственных значений.

 — количество отрицательных собственных значений.

 — количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если = n или = n, то это эллиптическое уравнение.

Ex: Уравнение Пуассона

.

2.Если = n — 1, = 1, или = 1, = n — 1, то уравнение гиперболическое.

Ex: — волновое уравнение.

Для уравнения Лапласа:

Для волнового уравнения:

3.Если , а , то ультрагиперболическое уравнение.

Ex:.

4.Если , то параболическое уравнение.

Ex:, и — уравнение теплопроводности.

Определение.

Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.

Приведение к каноническому виду.

1) y=y (x), то:

Уравнение (1) в новой системе координат:

(1')

Матрица Якоби:

.

В результате:

Ex:

гиперболическое уравнение.

- канонический вид волнового уравнения.

Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.

§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных.

Задача Коши для волнового уравнения:

Уравнение теплопроводности

Уравнение Пуассона

Определение.

Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.

(6)

(7.1)

(7.2)

(7.3)

(6)(7.1) — первая краевая задача, задача Дирихле.

(6)(7.2) — вторая краевая задача, задача Неймана.

(6)(7.3) — третья краевая задача.

Волновое уравнение.

(8)

(9)

(10)

(11.1)

(11.2)

(11.3)

(8) (9) (10) (11.1) - смешанные

(11.2) задачи

(11.3) (краевые задачи)

 — единичный вектор внешней нормали к поверхности.

На задаются начальные условия.

На боковой поверхности — краевые задачи.

Параболическое уравнение.

(12)

(13)

(14.1)

(14.2)

(14.3)

(12) (13) (14.1) - первая, вторая и третья смешанные задачи

(14.2) для уравнения

(14.3) теплопроводности.

(14.1) - на границе задана температура;

(14.2) - задан тепловой поток;

(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.

§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных).

Первая смешанная задача.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Собственные значения (5) — (6) вещественны, имеют конечную кратность.

 — изолир. .

 — ортонормированный базис в .

В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.

Пусть функции  — разложены по базису

тогда и u (t, x) можно разложить по базису :

Почленно дифференцируем ряд 2 раза:

(7)

Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.

(8)

(9)

(7) (8) (9) — задача.

Решим однородное уравнение для (7):

 — общее решение однородного уравнения (7)

(10)

В результате:  — частное решение неоднородного уравнения (7).

 — общее решение уравнения (7).

Подставим (8) и (9) в решение:

т.е. .

Замечание: не обоснована сходимость рядов.

§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных).

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

 — собственные векторы и собственные значения.

(6)

 — общее решение однородного уравнения (6)

 — частное решение неоднородного уравнения (6)

 — общее решение уравнения (6).

Рассмотрим функцию:

 — бесконечно дифференцируема при .

Если из , то:

, и при функция склеивается как бесконечно гладкая.

-финитная :

 — замыкание множества, где отлична от 0.

.

Введём - функция n переменных.

Свойства :

1) — бесконечно дифференцируемая, финитная:

.

2)  — замкнутый шар радиуса h с центром в O.

.

3)

Доказательство.