Комбинаторика

Комбинаторика

Комбинаторный анализ, комбинаторная математика, комбинаторика, — раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элэментов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Поэтому можно сказать, что целью К.а. является изучение комбинаторных конфигураций, в частности, вопросы их существования, алгоритмы построения, решение задач на перечисление. Примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, размещения и сочетания; блок-схемы и латинские квадраты.

Математический Энциклопедический Словарь.

Комбинаторика — один из разделов дискретной математики, который приобрел важное значение в связи с использованием его в теории вероятностей, математической логике, теории чисел, вычислительной технике, кибернетике.

В Большой Советской Энциклопедии говорится, что комбинаторика — это раздел математики в котором изучаются некоторые операции над конечными множествами.

Основными и типичными операциями и связанными с ними задачами комбинаторики являются следующие:

1) образование упорядоченных множеств, состоящее в установлении определенного порядка следования элементов множества друг за другом, составление перестановок;

2) образование подмножеств, состоящее в выделении из данного множества некоторой части его элементов, — составление сочетаний;

3) образование упорядоченных подмножеств — составление размещений.

ТИПЫ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ.

1. Магический квадрат — квадратная таблица (n * n) целых чисел от 1 до nќ такая, что суммы чисел вдоль любого столбца, любой строки и двух диагоналей таблицы равны одному и тому же числу s=n (nќ+1)/2. Число n называют порядом магического квадрата.

Доказано, что магический квадрат можно построить для любого n™ 3. Уже в средние века был известен алгоритм построения магических квадратов нечетного порядка. Существуют магические квадраты, удоволетворяющие ряду дополнительных условий, например магический квадрат с n=8, который можно разделить на четыре меньших магических квадрата 4×4. В Индии и некоторых других странах магические квадраты употреблялись как талисманы. Однако общей теории магических квадратов не существует. Неизвестно даже общее число магических квадратов порядка n.

2. Латинский квадрат — квадратная матрица порядка n, каждая строка и каждый столбец которой являются перестановками элементов конечного множества S, состоящего из n элементов.

3. Задача размещения - одна из классических комбинаторных задач, в которой требуется определить число способов размещения m различных предметов в n различных ячейках с заданным числом r пустых ячеек. Это число равно

4. Задача коммивояжера, задача о бродячем торговце — комбинаторная задача теории графов. В простейшем случае формулируется следующим образом: даны n городов и известно расстояние между каждыми двумя городами; коммивояжер, выходящий из какого-нибудь города, должен посетить n-1 других городов и вернуться в исходный. В каком порядке должен он посещять города (по одному разу каждый) чтобы общее пройденное расстояние было минимальным?

Методы решения задачи коммивояжера, по существу, сводятся к организации полного перебора вариантов.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

1. Метод рекуррентных соотношений.

Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что решение комбинаторной задачи с n предметами выражается через решение аналогичной задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения, которое называется рекуррентным. Пользуясь этим соотношением, искомую величину можно вычислить, исходя из того, что для небольшого количества предметов решение задачи легко находится.

2. Метод включения и исключения.

Пусть N (A) — число элементов множества A. Тогда методом математической индукции можно доказать, что

N (A1 U A2 U … An) = N (A1) + … + N (An) - {N (A1 П A2) + … + N (An-1 П An)} + + {N (A1 П A2 П A3) + … + N (An-2 П An-1 П An)} - … … +(-1)^n-1*N (A1 П A2 П … П An-1 П An).

Метод подсчета числа элементов объединения множеств по этой формуле, состоящий в поочередном сложении и вычитании, называется методом включения и исключения.