Какие гипотезы можно проверять с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона?

т(F (x) — G (x)) dF (x) = 0 (11) ,

а потому естественно в качестве F (x) рассмотреть функцию равномерного распределения на интервале (-1; 1). Тогда формула (11) переходит в условие

т(F (x) — G (x)) dF (x) = - ½ т (G (x) — (x + 1)/2) dx = 0 (11) .

Это условие выполняется, если функция (G (x) — (x + 1)/2) является нечетной.

Пример 1. Пусть функции распределения F (x) и G (x) сосредоточены на интервале (-1; 1), на котором

F (x) = (x + 1)/2, G (x) = (x + 1 + 1/p sin px) / 2 .

Тогда x = F-1(t) = 2t — 1, L (t) = G (F-1(t)) = (2 t + 1/p sin p (2t — 1)) / 2 = t + ½p sin p (2t — 1). Условие (11) выполнено, поскольку функция (G (x) — (x + 1)/2) является нечетной. Следовательно, a = ½. Начнем с вычисления

g2 = т t2 dL (t) — ¼ = т t2 d (t + ½p sin p (2t — 1)) — ¼ .

Поскольку d (t + ½p sin p (2t — 1)) = (1 + cos p (2t — 1)) dt, то

g2 = т t2 (1 + cos p (2t — 1)) dt — ¼ = 1/12 + т t2 cos p (2t — 1) dt .

С помощью замены переменных t = (x +1) / 2 получаем, что

тt2cos p (2t — 1) dt = 1/8 (т x2cos px dx + 2 т x cos px dx + т cos px dx) .

В правой части последнего равенства стоят табличные интегралы [4, с.71]. Проведя соответствующие вычисления, получаем, что в правой части стоит 1/8 (- 4/ p2) = - 1/(2 p2). Следовательно,

g2 = 1/12 — 1/(2 p2) = 0,32 672 733…

Перейдем к b2. Поскольку

b2 = т L2(t)dt- ¼ = т (t + ½p sin p (2t — 1))2 dt- ¼ ,

то

b2 = 1/12 + 1/pт (t sin p (2t — 1)) dt + (½p)2т sin2 p (2t — 1) dt .

С помощью замены переменных t = (x+1) / 2 переходим к табличным интегралам [4, с.65]:

b2= 1/12 + (4p)-1т x sin px dx + (4p)-1т sin px dx + (8p2)-1т sin2px dx.

Проведя необходимые вычисления, получаем, что

b2= 1/12 + (4p)-1(- 2/p) +0+ (8p2)-1 = 1/12 — 3(8p2)-1 = 0,45 337 893…

Следовательно, для рассматриваемых функций распределения нормированная и центрированная статистика Вилкоксона (см. формулу (4)) асимптотически нормальна с математическим ожиданием 0 и дисперсией (см. формулу (9))

D (T) = (0,544 n + 0,392 m + 2,064) (m+n+1) — 1.

Как легко видеть, дисперсия всегда меньше 1. Это значит, что в рассматриваемом случае гипотеза полной однородности (2) при проверке с помощью критерия Вилкоксона будет приниматься чаще, чем если она на самом деле верна.