Исследование точности численного интегрирования Research of Accuracy of Numerical Integration

Исследование точности численного интегрирования

Задание исследования

Провести исследование внутренней сходимости численного интегрирования методом Симпсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью языка С.

Подробное описание задачи и способы ее решения

Необходимо провести исследования так называемой внутренней сходимости численного интегрирования методами Симсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью функций языка С. Предполагается, что отрезок интегрирования [a, b] разбит на n равных частей системой точек (сеткой).

Контроль внутренней сходимости заключается в циклическом вычислении приближенных значений интеграла для удваиваемого по сравнению со значением на предыдущем прохождении цикла числа n. Отношения абсолютной величины разности этих значений к абсолютной величине предыдущего приближенного значения принимается в качестве критерия достижения точности интеграла.

Построить зависимости количеств итераций от различных величин критерия точности.

Построить обратные зависимости критерия точности от количества итераций.

Повторить все вышеуказанные исследования для случая, когда при вычислении критерия точности разность значений интеграла относится не к предыдущему значению, а к точному значению аналитически вычисленного интеграла.

Исследовать влияние увеличения верхнего предела интегрирования на точность (при прочих неизменных условиях)

Метод трапеций

, где

Метод Симпсона

, где

Результаты исследований

Таблица и график зависимости количества итераций от различных значений критерия точности

Для

Критерий точности

Количество итераций

-0,1 676 631

14

-0,1 518 916

16

-0,46 931

12

-0,26 531

11

-0,2 639

10

-0,1 709

2

-0,1 297

9

-0,557

3

-0,25

8

-0,198

4

-0,96

5

-0,38

6

0

15

0,52

7

0,71 089

13

Критерий точности

Количество итераций

-0,1 127 271

16

-0,750 288

15

-0,540 677

14

-0,21 415

12

-0,5 711

11

-0,458

9

-0,381

2

-0,191

3

-0,8

4

-0,4

5

-0,19

7

-0,2

6

0,5

8

0,2 983

10

0,164 377

13

Критерий точности

Количество итераций

-0,66 709

13

-0,42 367

14

-0,3 561

10

-0,16

5

-0,1

4

0,5

3

0,6

6

0,9

2

0,9

7

0,223

8

0,56

9

0,2 782

11

0,3 474

12

0,5 293

16

0,53 267

15

Критерий точности

Критерий точности

-61,4 469 795

12

-5,714 047

3

-1,215 755

13

-0,7 241 433

2

-0,5 121 117

4

-0,3 222 643

11

-0,2 163 614

7

-0,1 536 629

9

-0,930 261

14

0,353 183

16

0,57 059

15

0,1 697 371

5

0,2 025 534

10

0,2 504 728

6

0,6 202 592

8

Критерий точности

Количество итераций

-0,119 308

16

-0,7 834

13

-0,79

3

-0,41

4

-0,37

7

-0,27

5

-0,27

6

-0,2

8

-0,16

2

0,3

10

0,62

9

0,385

11

0,802

12

0,5 452

15

0,16 689

14

Критерий точности

Количество итераций

-0,26 286

16

-0,12 416

14

-0,118

3

-0,107

4

-0,46

5

-0,46

9

-0,28

6

-0,21

7

-0,5

2

0,11

10

0,18

8

0,23

11

0,58

12

0,1 049

13

0,27 928

15

Таблица и график зависимости значений критерия точности от количества итераций

Для функции

По отношению к предыдущему значению

По отношению к аналитическому значению

Критерий точности

Количество итераций

Критерий точности

Количество итераций

-0,1 709

2

-0,1 932

2

-0,557

3

-0,629

3

-0,198

4

-0,224

4

-0,96

5

-0,108

5

-0,38

6

-0,43

6

0,52

7

0,58

7

-0,25

8

-0,283

8

-0,1 297

9

-0,1 466

9

-0,2 639

10

-0,2 983

10

-0,26 531

11

-0,2 998

11

-0,46 931

12

-0,52 891

12

0,71 089

13

0,797 403

13

-0,1 676 631

14

-0,2 014 365

14

0

15

0

15

-0,1 518 916

16

-0,1 518 916

16

Для функции

По отношению к предыдущему значению

По отношению к аналитическому значению

Критерий точности

Количество итераций

Критерий точности

Количество итераций

-0,381

2

-0,666

2

-0,191

3

-0,335

3

-0,8

4

-0,141

4

-0,4

5

-0,69

5

-0,2

6

-0,4

6

-0,19

7

-0,33

7

0,5

8

0,88

8

-0,458

9

-0,802

9

0,2 983

10

0,522

10

-0,5 711

11

-0,9 997

11

-0,21 415

12

-0,37 465

12

0,164 377

13

0,286 955

13

-0,540 677

14

-0,959 378

14

-0,750 288

15

-0,1 259 331

15

-0,1 127 271

16

-0,1 750 124

16

Сравнение результатов

Таблица сравнительных результатов

Метод трапеции n=1 000 000

Метод Симпсона

n =1 000 000

Аналитический результат

Функция

Пределы

4,5 051 475

4,5 240 183

4,49 980 967

f (x)=1/x

0,1…9

1,7 491 462

1,7 500 761

1,791 756 469

f (x)=1/x*x

0,3…5

1,9 991 885

1,9 999 505

2

f (x)=sin (x)

0…π

-0,512

0,3

0

f (x)=sin (2*x)

0…π

0,2 857 157

0,2 856 935

0,285 714 285

f (x)=sin (7*x)

0…π

0,2 222 053

0,2 222 133

0,222 222 222

f (x)=sin (9*x)

0…π

Таблица влияния увеличения верхнего предела на точность интегрирования

Аналитическое значение

Практическое значение

Верхний предел

Погрешность

4,49 980 967

4,5 217 996

9

-0,2 198 993

4,605 170 186

4,624 969

10

-0,19 798 814

4,787 491 743

4,8 039 412

12

-0,16 449 457

4,941 642 423

4,9 557 843

14

-0,14 141 877

5,75 173 815

5,875 444

16

-0,12 370 585

5,192 956 851

5,2 039 275

18

-0,10 970 649

5,298 317 367

5,3 082 042

20

-0,9 886 833

Следовательно, увеличение верхнего предела приводит к увеличению точности интегрирования

Текст программы

/* Курсовая работа по информатике

«Исследование точности численного интегрирования»

«Research of Accuracy of Numerical Integration»

Преподаватель:

Студенты: Степанов А.Г.

Черепанов К.А.

Группа: Р-207

*/

# include <stdio.h>

# include <io.h>