Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов
Подставляя в последнее уравнение выражение из уравнения (5), получим:
или
(7)
Аналогичным образом получается уравнение для определения v (x, t):
(8)
Если пренебречь утечкой через изоляцию и сопротивлением , то уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения:
где обозначено: . Исходя из физических условий, формулируют граничные и начальные условия задачи.
§ 1.2. Метод разделения переменных.
1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны.
Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения
удовлетворяющее однородным граничным условиям
(9)
и начальным условиям
(10)
Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.
Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения
не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям
(11)
и представимое в виде произведения
(12)
где X (x) — функция только переменного x, T (t) — функция только переменного t.
Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:
или, после деления на XT,
(13)
Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно,
(14)
где — постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.
Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X (x) и T (t)
(15)
(16)
Граничные условия (11) дают:
Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным условиям:
X (0) = X () = 0, (17)
Так как иначе мы имели бы
в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.
Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях:
найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи:
(18)
а также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения — собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма — Лиувилля.
Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр отрицателен, равен нулю или положителен.
- При ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид
- При = 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид
- При
Граничные условия дают:
Х (0) = С1 + С2 = 0;
т. е.
Но в рассматриваемом случае — действительно и положительно, так что . Поэтому
С1 =0, С2 = 0
и, следовательно,
Х (х)0.
Х (х) = С1х + С2.
Граничные условия дают:
т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,
Х (х)0.
› 0 общее решение уравнения может быть записано в виде
Граничные условия дают:
Если Х (х) не равно тождественно нулю, то D20, поэтому
(19)
или
где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях
Этим собственным значениям соответствуют собственные функции
где Dn — произвольная постоянная.
Итак, только при значениях , равных
(20)
существуют нетривиальные решения задачи (11)
(21)
определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям n соответствуют решения уравнения (9)
(22)
где An и Bn — произвольные постоянные.
Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции
(23)
являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая — от t. Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций j (x) и y (x).
Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений