Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Подставляя в последнее уравнение выражение из уравнения (5), получим:

или

(7)

Аналогичным образом получается уравнение для определения v (x, t):

(8)

Если пренебречь утечкой через изоляцию и сопротивлением , то уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения:

где обозначено: . Исходя из физических условий, формулируют граничные и начальные условия задачи.

§ 1.2. Метод разделения переменных.

1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны.

Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения

удовлетворяющее однородным граничным условиям

(9)

и начальным условиям

(10)

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.

Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения

не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям

(11)

и представимое в виде произведения

(12)

где X (x) — функция только переменного x, T (t) — функция только переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:

или, после деления на XT,

(13)

Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ , t › 0. Правая часть равенства (13) является функцией только переменного t, а левая — только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение

(14)

где — постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X (x) и T (t)

(15)

(16)

Граничные условия (11) дают:

Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным условиям:

X (0) = X () = 0, (17)

Так как иначе мы имели бы

в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.

Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях:

найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи:

(18)

а также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения — собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма — Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр отрицателен, равен нулю или положителен.

  1. При ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид
  2. Граничные условия дают:

    Х (0) = С1 + С2 = 0;

    т. е.

    Но в рассматриваемом случае — действительно и положительно, так что . Поэтому

    С1 =0, С2 = 0

    и, следовательно,

    Х (х)0.

  3. При = 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид
  4. Х (х) = С1х + С2.

    Граничные условия дают:

    т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,

    Х (х)0.

  5. При

› 0 общее решение уравнения может быть записано в виде

Граничные условия дают:

Если Х (х) не равно тождественно нулю, то D20, поэтому

(19)

или

где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

где Dn — произвольная постоянная.

Итак, только при значениях , равных

(20)

существуют нетривиальные решения задачи (11)

(21)

определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям n соответствуют решения уравнения (9)

(22)

где An и Bn — произвольные постоянные.

Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции

(23)

являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая — от t. Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций j (x) и y (x).

Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений