Интегральное исчисление. Исторический очерк

Рассмотрим поподробнее эту идею Ньютона. Известно, что любое действительное число можно представить десятичной дробью — конечной или бесконечной. Так, например:

Таким образом, любое число a можно представить в виде:

где N — целая часть, а a1, a2, … an, … могут принимать одно из значений от 0 до 9. По аналогии с таким представлением чисел Ньютон предположил, что любую функцию от x, например, , можно представить как бесконечный многочлен или ряд, расположенный уже не по степеням , а по степеням x:

где a1, a2, … an, …- коэффициенты, которые каждый раз должны быть определены. Примером служит известная нам геометрическая прогрессия:

Такое представление функции с помощью ряда очень удобно. С помощью рядов, как писал Ньютон, «удается преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти неодолимыми».

К аналогичным идеям, одновременно с Ньютоном, пришёл другой выдающийся учёный — Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Познакомимся с его биографией. Лейбниц родился в Германии в г. Лейпциге в 1646 г. Любознательный мальчик уже 6 лет вел интересные беседы по истории со своим отцом, профессором Лейпцигского университета. К 12 годам он изучил латинский язык и увлёкся древнегреческим. Особенно его интересовали древние философы, и он любил подолгу размышлять о философских теориях Аристотеля, Демокрита. В 15 лет Лейбниц поступил в Лейпцигский университет, где старательно изучал право и философию. Он очень много читал, его любимыми книгами были книги Р. Декарта, Г. Галилея, II. Кеплера и Д. Кампанеллы. Колоссальные знания, но математике Лейбниц приобрел, как ни странно, самоучкой. Через три года, окончив университет, Лейбниц, обиженный отказом ученого совета университета присвоить ему степень доктора прав покинул Лейпциг. Отказ объяснили тем, что Лейбниц был… слишком молод!

Так для молодого учёного началась жизнь, полная напряженного труда и далёких бесконечных путешествий. Нетрудно представить, как неудобно было путешествовать в неуклюжих каретах по тряским дорогам Европы тех времен. Лейбниц старался никогда не терять время даром. Много удачных мыслей родилось в его талантливой голове именно во время этих продолжительных поездок.

Лейбниц обладал исключительной способностью быстро понимать в задачу и решать ее наиболее общим способом. Размышляя над философскими и математическими вопросами, он убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в науке может стать математика. Всю свою сознательную жизнь он стремился выразить законы мышления, человеческую способность думать в виде математического исчисления. Для этого необходимо, учил Лейбниц, уметь обозначать любые понятия или идеи определенными символами, комбинируя их в особые формулы, и сводить правила мышления к правилам в вычислениях, но этим символическим формулам. Лейбниц стремился избавить наши рассуждения от любой неопределенности и возможности ошибиться самому или вводить в заблуждение других, заменяя общие слова четко определенными символами.

Лейбниц мечтал, что если вдруг между людьми возникнут разногласия, то решаться они будут не в длинных и утомительных спорах, а так, как решаются задачи или доказываются теоремы. Спорщики возьмут в руки перья и, сказав: «Начнем вычислять» — примутся за расчеты.