Интегральное исчисление. Исторический очерк

Из истории интегрального исчисления.

План.

1. Введение…1

2. Метод исчерпывания — начало интегрального исчисления…1

3. Определение основных понятий и принципов интегрального исчисления. …1

4. Символьный метод, операторы…4

5. Ньютон и Лейбниц-рождение противоречий…5

6. Эйлер. Понятие об интегральной сумме…7

7. Проблема двойных и тройных интегралов…9

8. Коши — решение парадокса существования конечных сумм из бесконечно малых слагаемых. …9

9. Заключение…10

10. Список литературы…11

Введение

Интегральное исчисление, вместе с исчислением дифференциальным, составляет основу математического анализа. Интегральным исчислением называют раздел математики, занимающийся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления.

Метод исчерпывания — начало интегрального исчисления.

Интегральное исчисление появилось во времена античного периода развития математической науки и началось с метода исчерпывания, который был разработан математиками Древней Греции, и представлял собой набор правил, разработанных Евдоксом Книдским. По этим правилам по которым вычисляли площадей и объёмы. Далее метод получил своё развитие в работах Евклида. Особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания прославился Архимед.

Рассмотрим типичную схему доказательств, используемую в методе исчерпывания. Она выглядела следующим образом. Для того, чтобы определить величину A строилась некоторая последовательность величин C1, C2, …, Cn, … такая, что

Предполагалось также известным такое B, что

и что для любого целого N можно найти достаточно большое n, удовлетворяющее условию:

Где величина d — константа. В результате трудоёмких вычислений, из последнего выражения удавалось получить следующее:

Таким образом, видим, что рассматриваемый метод был основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров и т. п., обозначенных последовательностью А1, А2, …, Аn, …). Таким образом метод исчерпывания можно представить как античный интегральный метод.

Определение основных понятий и принципов

интегрального исчисления.

Известно, что кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих ценных научных достижений. Не повезло и методу исчерпывания — о нём вспомнили лишь в XVII веке. Дальнейшее его развитие связано с такими известными в математике именами, как Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер и ряда других выдающихся учёных. Они положили основу современного математического анализа.