Задачи Пятого Турнира Юных Математиков
Идем от обратного: S (y)=n где, a+b+c+…+f = n,
При n = 2002, S (x) = 4, P (S (x)) = 4, S (S (X)) = 4 — .
Рассмотрев решения для данного случая, убеждаемся, что n можно подобрать относительно х или наоборот.
Задание 6 Финального Тура
Найти все функции , для которых выполняется
Решение
Пусть х = 1.
. Заменим f (y) на а, имеем:
. (*)
Проверим полученную функцию.
y = 1, тогда
Теперь подставим в исходную функцию.
Значит, одно из возможных значений функции — .
Математический Анализ
Условие: Рассматриваются различные непрерывно дифференцируемые функции (это значит, что для произвольного , существует ), причем функция g непрерывна на сегменте [0;1]; под произодными функции f в конечных точках сегмента [0;1] считаются конечные производные соответственно), для которых f (0)=f (1)=0 и . Охарактеризовать множество всех точек, координатной плоскости xOy, через которые могут проходить графики всех функций.
Решение
Используем неравенство Коши-Буняковского для определенного интеграла, но, прежде, распишем определенный интеграл:
Распишем, также, формулу Ньютона-Лейбница:
.
Итак,
Значит .
Значит, .
Тогда, .
, т.к. (по условию).
Рассмотрим два случая:
- y2 = x — x2 (точка лежит на контуре)
Т.е. графиком данной функции будет произвольная кривая, в которую вписан угол (угол OMK = 900)
ПРОТИВОРЕЧИЕ !!!
Т.е. всегда можно построить гладкую кривую, проходящую через точку Х.
Бесконечные Биномиальные Коэффициенты
Условие: упростить выражение .
Решение
Отметим, что если n — четное, что количество членов ряда нечетно, а если n — нечетно, то их количество четно.
Рассмотрим четные и нечетные n.
- n = 2k + 1 — нечетное
- n = 2k
Тогда, ряд будет иметь вид:
.
Зная, что , упростим этот ряд.
.
Видим, что равноудаленные от концов ряда члены сокращаются, и, т.к. количество их четно, следовательно сумма ряда рана нулю.
, при n = 2k + 1.
Этот случай не был решен до конца, но в результате расчетов первых четных чисел была выведена и проверена, однако не доказана, формула
, где n — четное.
Работа Гончаренко Никиты,
Г. Краматорск, ОШ#35