Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

Идем от обратного: S (y)=n где, a+b+c+…+f = n, т. е. от перестановки цифр сумма не меняется.

При n = 2002, S (x) = 4, P (S (x)) = 4, S (S (X)) = 4 — .

Рассмотрев решения для данного случая, убеждаемся, что n можно подобрать относительно х или наоборот.

Задание 6 Финального Тура

Найти все функции , для которых выполняется

Решение

Пусть х = 1.

. Заменим f (y) на а, имеем:

. (*)

Проверим полученную функцию.

y = 1, тогда

Теперь подставим в исходную функцию.

Значит, одно из возможных значений функции — .

Математический Анализ

Условие: Рассматриваются различные непрерывно дифференцируемые функции (это значит, что для произвольного , существует ), причем функция g непрерывна на сегменте [0;1]; под произодными функции f в конечных точках сегмента [0;1] считаются конечные производные соответственно), для которых f (0)=f (1)=0 и . Охарактеризовать множество всех точек, координатной плоскости xOy, через которые могут проходить графики всех функций.

Решение

Используем неравенство Коши-Буняковского для определенного интеграла, но, прежде, распишем определенный интеграл:

Распишем, также, формулу Ньютона-Лейбница:

.

Итак,

Значит .

Значит, .

Тогда, .

, т.к. (по условию).

Рассмотрим два случая:

  1. y2 = x — x2 (точка лежит на контуре)
  2. Т.е. графиком данной функции будет произвольная кривая, в которую вписан угол (угол OMK = 900)

    ПРОТИВОРЕЧИЕ !!!

Т.е. всегда можно построить гладкую кривую, проходящую через точку Х.

Бесконечные Биномиальные Коэффициенты

Условие: упростить выражение .

Решение

Отметим, что если n — четное, что количество членов ряда нечетно, а если n — нечетно, то их количество четно.

Рассмотрим четные и нечетные n.

  1. n = 2k + 1 — нечетное
  2. Тогда, ряд будет иметь вид:

    .

    Зная, что , упростим этот ряд.

    .

    Видим, что равноудаленные от концов ряда члены сокращаются, и, т.к. количество их четно, следовательно сумма ряда рана нулю.

    , при n = 2k + 1.

  3. n = 2k

Этот случай не был решен до конца, но в результате расчетов первых четных чисел была выведена и проверена, однако не доказана, формула

, где n — четное.

Работа Гончаренко Никиты,

Г. Краматорск, ОШ#35