Задача Дирихле

Задача Дирихле

1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Решить численно задачу Дирихле для уравнения Лапласа :

(x, y)= 472;= 646;D; u|Г=xy2=f (x, y) ;

область D ограничена линиями: x=2, x=4, y=x, y=x+4 ;

(x0, y0) = (3, 5) .

Следует решить задачу сначала с шагом по x и по y: h=0.2, потом с шагом h=0.1. Точность решения СЛАУ = 541;=0.01 .

2.ОПИСАНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ

Поставленная задача решается численно с помощью программы, реализующей метод сеток, разработанный для численного решения задачи Дирихле для уравнений эллептического типа.

Программа написана на языке C++, в среде Borland C++ версии 3.1. Ниже описан алгоритм работы этой программы.

1. На первом шаге область D дискретизируется. Она заменяется на область Dh путем разбиения области D параллельными прямыми по следующему правилу: yi=y0 = 617; ih, xj=x0 = 617; ih, i, j=0,1,2… PР. Разбиение производится до тех пор, пока текущая прямая не будет лежать целиком вне области D. Получается множество точек (xi, yj).

2. За область Dh принимают те точки множества (xi, yj), которые попали внутрь области D, а также дополняют это множество граничными точками.

3. Во всех точках области Dh вычисляются значения функции f (xi, yj) .

4. За область Dh* принимаются все внутренние точки области Dh, т. е. удовлетворяющие требованию:

(xi, yj)= 472;= 646; Dh*, если (xi+1, yj) = 646; Dh , (xi-1, yj)= 472;= 646; Dh, (xi, yj+1)= 472;= 646; Dh, (xi, yj-1)= 472;= 646; Dh .

5. Во всех точках области Dh* вычисляется функция F(N)*[i, j] (индекс N обозначает номер итерации, на которой производится вычисление):

F(N)*[i, j]=(f (xi+1, yj) + f (xi-1, yj) + f (xi, yj+1)= 472;= 483;= 472;f (xi, yj-1))/4

6. Теперь если max | F(N+1)*[i, j] - F(N)*[i, j]|<= 472;= 541;, взятый по всем точкам области Dh* , то задача решена;

если нет, то выполнять шаг 5 (пересчитывать функцию F(N)*[i, j] через значения F(N-1)*[i, j]) до тех пор, пока не выполнится указанное условие.

3.ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

#include <stdio.h>

#include <fstream.h>

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

#include <math.h>

int i, j, k; // Variables

float h, x, y, tmp, E1;

struct point {

float xx;

float yy;

int BelongsToDh_;

int BelongsToDh;

float F;

float F_;

} p0, arrayP[13][33];

float arrayX[13];

float arrayY[33];

float diff[500];

void CreateNet (void); // Procedure Prototypes

int IsLineFit (float Param);