Доказательство теорем

1.

*1. Говорят, что функция f (x) не убывает (не возрастает) на (a, b), если для любых точек x1<x2 из (a, b) справедливо неравенство f (x1)Ј f (x2) (f (x1)і f (x2)).

*2. Говорят, что функция f (x) возрастает (убывает) на (a, b), если x1<x2 из (a, b) справедливо неравенство f (x1)<f (x2) (f (x1)>f (x2)). В этом случае функцию называют монотонной на (a, b).

Т1. Дифференцируемая на (a, b) функция f (x) тогда и только тогда не убывает (не возрастает) на (a, b), когда fў (x)і 0 (Ј 0) при любом xО (a, b).

Док-во: 1) Достаточность. Пусть fў (x)і 0 (Ј 0) всюду на (a, b). Рассмотрим любые x1<x2 из (a, b). Функция f (x) дифференцируема (и непрерывна) на [x1, x2]. По теореме Лагранжа: f (x2)-f (x1)=(x2-x1)fў (a), x1<a<x2. Т.к. (x2-x1)>0, fў (a)і 0 (Ј 0), f (x2)-f (x1)і 0 (Ј 0), значит, f (x) не убывает (не возрастает) на (a, b). 2) Необходимость. Пусть, например, f (x) не убывает на (a, b), xО (a, b), x+D xО (a, b), D x>0. Тогда (f (x+D x)-f (x))/D xі 0. Переходя к приделу при D xа 0, получим fў (x)і 0. Теорема доказана.

Т2. Для возрастания (убывания) f (x) на (a, b) достаточно, чтобы fў (x)>0 (<0) при любом xО (a, b). Док-во: Тоже что и в Т2.

Замечание1. Обратное к теореме 2 не имеет места, т. е. если f (x) возрастает (убывает) на (a, b), то не всегда fў (x)>0 (<0) при любом xО (a, b).

*3. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функций y=f (x), если хотя бы одно из предельных значений или равно +Ґ или -Ґ .

Замечание 2. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют.

*4. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f (x) при xа +Ґ (-Ґ), если f (x)=kx+b+a (x), где

Т3. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f (x) при xа +Ґ (-Ґ), тогда и только тогда, когда существуют , , причем при xа +Ґ (-Ґ) наклонная асимптота называется правой (левой). Док-во: Предположим, что кривая y=f (x) имеет наклонную асимптоту y=kx+b при xа +Ґ, т. е. имеет место равенство f (x)=kx+b+a (x). Тогда . Переходя к пределу при xа +Ґ, получаем . Далее из f (x)=kx+b+a (x)а b=f (x)-kx-a (x). Переходя к пределу при xа +Ґ, получаем . Докажем обратное утверждение. Пусть пределы, указанные в теореме, существуют и конечны. Следовательно, f (x)-kx=b+a (x), где a (x)а 0, при xа +Ґ (-Ґ). Отсюда и получаем представление f (x)=kx+b+a (x). Теорема доказана.

Замечание3. При k=0 прямая y=b называется горизонтальной асимптотой, причем при xа +Ґ (-Ґ) — правой (левой).

2.

*1. Точку х0 назовем стандартной для функции f (x), если f (x) дифференцируема в точке x0 и fў (x0)=0.

*2. Необходимое условие экстремума. Если функция y=f (x) имеет в точке x0 локальный экстремум, то либо x0 — стационарная точка, либо f не является дифференцируемой в точке x0.

Замечание 1. Необходимое условие экстремума не является достаточным.

Т1. (Первое достаточное условие экстремума). Пусть y=f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0, в которой она является непрерывной. Если при переходе x через x0 слева направо fў (x) меняет знак с + на -, то точка x0 является точкой максимума, при перемене знака с — на + точка x0 является точкой минимума. Док-во: Пусть xО (a, b), x№ x0, (a, b) — достаточно малая окрестность точки x0. И пусть, например, производная меняет знак с + на -. Покажем что f (x0)>f (x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку [x, x0] или [x0, x]) f (x)-f (x0)=(x- x0)fў (a), где a лежит между x0 или x: а) x< xx- x0<0, fў (a)>0Ю f (x)-f (x0)<0Ю f (x0)>f (x); б) x>xx-x0>0, fў (a)<0Ю f (x)-f (x0)<0Ю f (x0)>f (x).

Замечание 2. Если fў (x) не меняет знака при переходе через точку х0, то х0 не является точкой экстремума.

Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x0 — стационарная точка функции y=f (x), которая имеет в точке x0 вторую производную. Тогда: 1) fў ў (x0)>0Ю f имеет в точке x0 локальный минимум. 2) fў ў (x0)<0Ю f имеет в точке x0 локальный максимум.

3.

*1. График функции y=f (x) называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) в промежутке (a, b), если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной в любой точке этой дуги.

*2. График функции y=f (x) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке (a, b), если соответствующая дуга кривой расположена ниже касательной в любой точке этой дуги.

Т1. Пусть y=f (x) имеет на (a, b) конечную 2-ю производную. Тогда: 1) fў ў (x)>0, «xО (a, b) Ю график f (x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз; 2)) fў ў (x)<0, «xО (a, b) Ю график f (x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вверх

*3. Точка (c, f (с)) графика функций f (x) называется точкой перегиба, если на (a, c) и (c, b) кривая y=f (x) имеет разные направления выпуклости ((a, b) — достаточно малая окрестность точки c).

Т2. (Необходимое условие перегиба). Если кривая y=f (x) имеет перегиб в точке (c, f (c)) и функция y=f (x) имеет в точке c непрерывную вторую производную, то fў ў (c)=0.

Замечание1. Необходимое условие перегиба не является достаточным.

Замечание2. В точке перегиба вторая производная может не существовать.

Т3. (Первое достаточное условие перегиба). Пусть y=f (x) имеет вторую производную на cО (a, b), fў ў (c)=0. Если fў ў (x) имеет на (a, c), (c, b) разные знаки, то (c, f (c)) — точка перегиба графика f (x).

Т4. (Второе условие перегиба). Если y=f (x) имеет в точке конечную третью производную и fў ў (c)=0, а fў ў ў (c)№ 0, тогда (c, f (c)) — точка перегиба графика f (x).

4.

*1. Первообразная от функции f (x) в данном интервале называется функция F (x), производная которой равна данной функции: Fў (x)=f (x).

T1. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Док-во: F (x) и Ф (х) — две первообразные от f (x), тождественно не равные между собой. Имеем Fў (x)=f (x), Фў (х)=f (x). Вычитая одно равенство из другого, получим [F (x)-Ф (х)]ў =0. Но если производная от некоторой функции (в нашем случае от F (x)-Ф (х)) тождественно равна нулю, то сама функция есть постоянная; Ю F (x)-Ф (х)=С.