Вопросы к гос.экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра”
a-образующий элемент класса.
Классы эквивалентности обладают свойствами:
1. «aО A попадает в какой-либо класс, что означает, что Ka№ 0 . Это утверждение следует из введенного определения класса.
- Любые два элемента из класса находятся в отношении,
т. е. если b, cО K a, b w c.
c, bО KaЮ a w c, Ю c w a, Ю c w b
a w b a w b
Это свойство позволяет утверждать, что любой представитель класса может являться его образующим.
3°. Классы не пересекаются,
Пусть КаЗ Кb№ Ж ® $ сО КаЗ КbЮ сО Ка, сО КbЮ сWа, cWbЮ аWс, сWbЮ аWbЮ Ка=Кb.
Свойства классов и позволяют утверждать истинность теоремы: A, W-эквивалентности Ю Ka, Kb ,…Ю
a) классы-подмножества A;
b) классы-неизвестного подмножества;
c) классы-не пересекающиеся;
d) И Ka =A, аО А
Имеет место и обратное утверждение.
Теорема 3.Если на, А задано отношение Rs, соответствующее разбиению S, то Rs-отношение эквивалентности .
Пусть A, Rs, S-разбиения, следовательно, A разбивается на подмножества, объединение которых составляет A.
Если подмножества рассматривать как классы, полученные в результате отношения Rs: «принадлежность одному подмножеству», то легко доказать, что все свойства классов имеют место, поэтому Rs-эквивалентность.
Обозначим множество классов эквивалентности через A/w. Это новое множество называют фактор-множеством. Итак, A/w= { Ka /a О A } .
Рассмотрим некоторые примеры применения теории отношении эквивалентности:
- Hа множестве дробей {a/b, аО Z, bО N} зададим отношение «=»: а/b=с/dЫ ad=bс.
Тогда класс эквивалентности Ка/b={x/y| x/y=a/b}-рациональное число, а {Ka/b}=A/W-множество рациональных чисел.
2. Z, «є «: aє b (mod m) Ы (a-b)M m, {Ka}=Z/(m)=Zm-основное множество кольца классов вычетов.
3. Ф-множество фигур, «~ «-подобие. Это отношение рождает понятие «форма фигуры» как класса подобных фигур.
Вопрос 5. Элементы теории групп.
Алгебра как наука изучает различные алгебры: векторные пространства, группы, кольца. В вопросе требуется рассмотреть одну из них — группу. Определение группы задается аксиометрически и рассматривается одно из наиболее важных отношений, которое изучает эта наука, отношение эквивалентности, которое позволяет получать новые группы. Введем понятие алгебры.
Опр. 1. Алгеброй называется упорядоченная пара множеств <A, V>, где A-множество элементов любой природы, а V-множество алгебраических операций.
Опр. 2. Пусть дано множество A№ Ж. Алгебраическая операция «o «на множестве, А называется отображение f: А® А,
Опр. 3. Группой называется алгебра <G, o > с одной алгебраической операцией «o «,
удовлетворяющей свойствам (аксиомам):
1° .» a, b, cО G, ao (bo c)=(ao b) o c,
2° .$ eG,» aО G: eo a=ao e=a.
3° .» aО G, $ a° О G: ao a° =a° o a=e.
e-нейтральный элемент относительно операции;
а° -симметричный относительно операции для а.
Группа, как алгебра, обладающая рядом свойств допускает классификацию.
Будем рассматривать дальнейшие теоретические вопросы в терминах мультипликативной группы.
Теорема 4 (свойства группы). В группе нейтральный элемент единственный, для каждого элемента обращение единственно, уравнения ax=b, xa=b разрешимы и имеют единственное решение.
1. Пусть для еО G, $ e1, e2-нейтральный (единственный), рассмотрим
(1):e1e=ee1=e.
(2): e2e=ee2, откуда получим:
e1=e1e=e1ee2=ee2=e2,
2. Пусть для aО G, $ a1-1, a2-1-обратный для а.
Рассмотрим (1): a1-1a=aa1-1=e
(2): a2-1a=aa2-1=e, откуда получим:
a1-1aa2-1=ea2-1=a2-1,
a1-1aa2-1=a1-1e=a1-1 Ю a2-1=a1-1.
3. ax=b; aО GЮ $ a-1: aa-1=a-1a=e. Домножим уравнение на a-1:
a-1ax=a-1bЮ ex=a-1bЮ x=a-1b.
Пусть уравнение имеет два решения x1, x2:
ax1=b, ax2=b-равенства, домножим на а-1:
x1=a-1b, x2=a-1b.
В силу алгебраичности операции x1=x2, что и требовалось доказать.
Из определения группы видно, что G это множество, поэтому есть смысл рассматривать его подмножества. Среди подмножеств особый интерес представляют те, которые являются группами,
Опр. 5. Подмножество К группы <G, * > называется подгруппой, если оно само является группой <K, * > .
Теорема 6. (критерий подгруппы). Подмножество К группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда выполнены два условия:
1° .» a, bО K, ab, baО K.
2° .» aО K, a-1О K.
Ю G-группа, K М G. Пусть K p G (подруппы), тогда по определению К-группа. Следовательно, 1°, 2° выполнены.
Ь G-группа, K М G, 1°, 2°. Покажем, что K p G,
Для доказательства необходимо проверить четыре условия:
- Замкнутость К относительно групповой операции.
- Ассоциативность этой операции.
- Существование нейтрального элемента.
- Существование для каждого элемента обратного.
Из условия видно, что 1 и 4 выполнены. Второе имеет место в силу того, что КМ G. Проверим 3:
Т. к. «aО K, $ a-1О K, условие 1°, то аa-1 О К. Но аa-1= е, следовательно, еО К, что и требовалось доказать. Критерий важен в теории групп тем, что сокращает процедуру проверки, является ли подмножество группой (подгруппой).
Особую роль в теории групп имеют подгруппы, называемые нормальными, или нормальными делителями. Выведем это понятие.
Пусть G-группа, K p G-подгруппа. Зададим отношение «сравнения по подгруппе К»:
aє b (mod K) Ы ab-1 О K. Проверим, что отношение «є «-является эквивалентностью.
1).]aО GЮ $ a-1G, aa-1=e, eО KЮ aa-1О KЮ aє a (mod K) Ю «є «-рефлексивно.
2).]aє b (mod K) Ю ab-1О K, (a-b-1)-1О KЮ ba-1О KЮ bє a (mod K) Ю «є «-симметрично.
3).]aє b (mod K), bє c (mod K) Ю ab-1О K, bc-1О KЮ (ab-1)(bc-1)О KЮ ac-1О KЮ
aє c (mod K) Ю «є «-транзитивно.
Таким образом, отношение сравнение по модулю в G является отношением эквивалентности, а эквивалентность, как известно, задает разбиение на G.
Обозначим класс эквивалентности, образованный элементами g О G, gЇ и покажем, что gЇ=Kg={hg| hО K, gО G}
Тогда множество классов эквивалентности, которые называются смежными классами группы G по подгруппе К, образуют фактор-множество.
{Kg| gО G}=G/"є «-фактор-множество.
Аналогично можно вывести отношение сравнения по подгруппе иначе: