Вопросы к гос.экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра”

a-образующий элемент класса.

Классы эквивалентности обладают свойствами:

1. «aО A попадает в какой-либо класс, что означает, что Ka№ 0 . Это утверждение следует из введенного определения класса.

  1. Любые два элемента из класса находятся в отношении, т. е. если b, cО K a, b w c.

c, bО Ka w c, Ю c w a, Ю c w b

a w b a w b

Это свойство позволяет утверждать, что любой представитель класса может являться его образующим.

3°. Классы не пересекаются, т. е. КаЗ Кb=Ж

Пусть КаЗ Кb№ Ж ® $ сО КаЗ КbЮ сО Ка, сО КbЮ сWа, cWbЮ аWс, сWbЮ аWbЮ Ка=Кb.

Свойства классов и позволяют утверждать истинность теоремы: A, W-эквивалентности Ю Ka, Kb ,…Ю

a) классы-подмножества A;

b) классы-неизвестного подмножества;

c) классы-не пересекающиеся;

d) И Ka =A, аО А

Имеет место и обратное утверждение.

Теорема 3.Если на, А задано отношение Rs, соответствующее разбиению S, то Rs-отношение эквивалентности .

Пусть A, Rs, S-разбиения, следовательно, A разбивается на подмножества, объединение которых составляет A.

Если подмножества рассматривать как классы, полученные в результате отношения Rs: «принадлежность одному подмножеству», то легко доказать, что все свойства классов имеют место, поэтому Rs-эквивалентность.

Обозначим множество классов эквивалентности через A/w. Это новое множество называют фактор-множеством. Итак, A/w= { Ka /a О A } .

Рассмотрим некоторые примеры применения теории отношении эквивалентности:

  1. Hа множестве дробей {a/b, аО Z, bО N} зададим отношение «=»: а/b=с/dЫ ad=bс.

Тогда класс эквивалентности Ка/b={x/y| x/y=a/b}-рациональное число, а {Ka/b}=A/W-множество рациональных чисел.

2. Z, «є «: aє b (mod m) Ы (a-b)M m, {Ka}=Z/(m)=Zm-основное множество кольца классов вычетов.

3. Ф-множество фигур, «~ «-подобие. Это отношение рождает понятие «форма фигуры» как класса подобных фигур.

Вопрос 5. Элементы теории групп.

Алгебра как наука изучает различные алгебры: векторные пространства, группы, кольца. В вопросе требуется рассмотреть одну из них — группу. Определение группы задается аксиометрически и рассматривается одно из наиболее важных отношений, которое изучает эта наука, отношение эквивалентности, которое позволяет получать новые группы. Введем понятие алгебры.

Опр. 1. Алгеброй называется упорядоченная пара множеств <A, V>, где A-множество элементов любой природы, а V-множество алгебраических операций.

Опр. 2. Пусть дано множество A№ Ж. Алгебраическая операция «o «на множестве, А называется отображение f: А® А, т. е. для «a, bО A, ($ !) cО A: ao b=c

Опр. 3. Группой называется алгебра <G, o > с одной алгебраической операцией «o «,

удовлетворяющей свойствам (аксиомам):

1° .» a, b, cО G, ao (bo c)=(ao b) o c,

2° .$ eG,» aО G: eo a=ao e=a.

3° .» aО G, $ a° О G: ao a° =a° o a=e.

e-нейтральный элемент относительно операции;

а° -симметричный относительно операции для а.

Группа, как алгебра, обладающая рядом свойств допускает классификацию.

Будем рассматривать дальнейшие теоретические вопросы в терминах мультипликативной группы.

Теорема 4 (свойства группы). В группе нейтральный элемент единственный, для каждого элемента обращение единственно, уравнения ax=b, xa=b разрешимы и имеют единственное решение.

1. Пусть для еО G, $ e1, e2-нейтральный (единственный), рассмотрим

(1):e1e=ee1=e.

(2): e2e=ee2, откуда получим:

e1=e1e=e1ee2=ee2=e2, т. е. e1=e2.

2. Пусть для aО G, $ a1-1, a2-1-обратный для а.

Рассмотрим (1): a1-1a=aa1-1=e

(2): a2-1a=aa2-1=e, откуда получим:

a1-1aa2-1=ea2-1=a2-1,

a1-1aa2-1=a1-1e=a1-1 Ю a2-1=a1-1.

3. ax=b; aО GЮ $ a-1: aa-1=a-1a=e. Домножим уравнение на a-1:

a-1ax=a-1bЮ ex=a-1bЮ x=a-1b.

Пусть уравнение имеет два решения x1, x2:

ax1=b, ax2=b-равенства, домножим на а-1:

x1=a-1b, x2=a-1b.

В силу алгебраичности операции x1=x2, что и требовалось доказать.

Из определения группы видно, что G это множество, поэтому есть смысл рассматривать его подмножества. Среди подмножеств особый интерес представляют те, которые являются группами, т. е. замкнуты относительно той же групповой операции.

Опр. 5. Подмножество К группы <G, * > называется подгруппой, если оно само является группой <K, * > .

Теорема 6. (критерий подгруппы). Подмножество К группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1° .» a, bО K, ab, baО K.

2° .» aО K, a-1О K.

Ю G-группа, K М G. Пусть K p G (подруппы), тогда по определению К-группа. Следовательно, 1°, 2° выполнены.

Ь G-группа, K М G, 1°, 2°. Покажем, что K p G, т. е. К-группа.

Для доказательства необходимо проверить четыре условия:

  1. Замкнутость К относительно групповой операции.
  2. Ассоциативность этой операции.
  3. Существование нейтрального элемента.
  4. Существование для каждого элемента обратного.

Из условия видно, что 1 и 4 выполнены. Второе имеет место в силу того, что КМ G. Проверим 3:

Т. к. «aО K, $ a-1О K, условие 1°, то аa-1 О К. Но аa-1= е, следовательно, еО К, что и требовалось доказать. Критерий важен в теории групп тем, что сокращает процедуру проверки, является ли подмножество группой (подгруппой).

Особую роль в теории групп имеют подгруппы, называемые нормальными, или нормальными делителями. Выведем это понятие.

Пусть G-группа, K p G-подгруппа. Зададим отношение «сравнения по подгруппе К»:

aє b (mod K) Ы ab-1 О K. Проверим, что отношение «є «-является эквивалентностью.

1).]aО GЮ $ a-1G, aa-1=e, eО KЮ aa-1О KЮ aє a (mod K) Ю «є «-рефлексивно.

2).]aє b (mod K) Ю ab-1О K, (a-b-1)-1О KЮ ba-1О KЮ bє a (mod K) Ю «є «-симметрично.

3).]aє b (mod K), bє c (mod K) Ю ab-1О K, bc-1О KЮ (ab-1)(bc-1)О KЮ ac-1О

aє c (mod K) Ю «є «-транзитивно.

Таким образом, отношение сравнение по модулю в G является отношением эквивалентности, а эквивалентность, как известно, задает разбиение на G.

Обозначим класс эквивалентности, образованный элементами g О G, gЇ и покажем, что gЇ=Kg={hg| hО K, gО G}

Тогда множество классов эквивалентности, которые называются смежными классами группы G по подгруппе К, образуют фактор-множество.

{Kg| gО G}=G/"є «-фактор-множество.

Аналогично можно вывести отношение сравнения по подгруппе иначе: