Вопросы к гос.экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра”
Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы.
В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы — числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.
Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.
Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij О R
Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.
Подстановка t = 1 2 … n называется взаимно-однозначное
t (1) t (2) …t (n)
отображение множества М={1,2,…, n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!
Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:
-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;
-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.
Для обозначения четности подстановки используется символ sgn (t) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) t = E (единичная)-четная; 2) sgn (t --1) = sgn t ;
3) одна транспозиция меняет четность подстановки.
Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (t)
где t -подстановка из индексов элементов произведения,
|A|=е sgn (t)a1t (1) a2t (2) …ant (n) , A=(aij)n*n
приняты также обозначения для определителя: def A, Δ.
Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:
1. |A|=|At|, где Аt -трансионированная;
2. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;
3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.
4. Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.
5. Перестановка двух строк (столбцов) матрицы изменяет знак определителя.
6. Если к одной строке матрицы прибавить другую, уменьшенную на число, не изменяет ее определитель.
7. Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i (a1+…ak b1+…bk c1+…ck), то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей, каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.
8. Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.
и другие.
Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента aij (Mij) и его алгебраического дополнения (Aij) .
Минором Mij элемента aij матрицы называется определитель матрицы, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число (-1)i+j Мij
Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца).
Теорема 3. |A|= a1jA1j +a2jA2j +…+anjAnj или
|A|=ai1Ai1 +ai2Ai2 +…+ain Ain.
Доказательство разобьем на три случая:
Cлучай 1. a11…a1n
|A|= a21…a2n = ann Mnn
0…ann
Воспользуемся для доказательства определением определителя
|A|=е sgn (t)a1t (1) a2 t (2)…a n-1,t (n-1) a nt (n)
Так как в n-ой строке все элементы кроме ann нули, то все слагаемые в определителе кроме ann равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен:
sgn (t) a1t (1) a 2 t (2)…a n-1,t (n-1) a n n =a n n (sgn (t ') a 1t (1) a 2 t (2) …a n-1,t (n-1)), где
t = 1 2 … n-1 n t ' = 1 2 … n-1
t (1) t (2) … t (n-1) t (n), t (1) t (2) … t (n), т. к
t = 1 2 … n-1 n = 1 2 … n
t (1) t (2) … t (n-1) t (n) t (1) t (2) … t (n), то sgn (t) =sgn (t ').
Мы видим, что в скобках определитель порядка (n-1), полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому
|A|=annMnn, что и требовалось доказать.
Случай 2.
a 11 … a 1j. a 1n
|A|= … = a ij A ij
0 … a ij … 0
…
a n1 … a nj … a nn
Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:
A11 … a1j … a1n a11. a1j .a1n a11. a1n. a1j
A=…= n-i … =n-in-j … =
0. aij … 0an1. anj .ann an1. ann .anj
an1. anj … ann 0. aij. 0 0. 0. aij
=2n-Mij*aij=i+jaijMij=aijAij
Случай 3. |A|=a1iA1i +a2iA2i +…+aniAni.
A11. a1j . ann … a1j+0+.+0 …. a1j .. 0. … 0
A21. a2j. a2n … 0 +a2j+.+0. . 0. . a2j. … 0
A = … = … = … + … +.+ … =
an1. anj. ann … 0+0+.+anj …. 0. . 0. …anj
= a1jA1j+a2jA2j+.+anjAnj
Рассмотренная теорема позволяет вычислить определитель матрицы любого порядка. Теория определителей имеет приложительное значение, то есть используется в качестве средства для решения вопрос в математике. В частности, она лежит в основе решения систем линейных уравнений как одного из способов. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксированы теоремой Крамера.
Теорема 4. (Крамера). Если |A| не равен нулю, то система е aijxj=bi, где i=1,n; j=1,n имеет единственное решение, которое находится по формуле:
xi= , где = A,
D xi-определитель матриц, полученных из, А заменой i-столбца столбцом свободных членов.
Пусть (1) е aijxj=bj, i=j=1,n, |A| № 0. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения (2): AX=b, где А-основная матрица системы, .
X1 b1
X= X2, b = b2
..
xn bn
Если |A| № 0® $ А-1 Ю А-1АХ=А-1b Ю X=A-1 b. Известна теорема утверждающая, что A-1 = A*, где A* -присоединенная матрица к матрице A, она состоит из алгебраических дополнений элементов, расположенных в столбцах. Тогда:
A11 A21. An1 b1 b1A11+b2A22+.+bnAn1
X= A* b = A12 A22. An2 b2 = b1A12+b2A22+.+bnAn2 =
… … …
A1n A2n . Ann bn b1A1n+b2A2n+.+bnAnn
x1
=x2 ,
…
xn
что и позволит получить формулу: Xi=, где = A, i=1,n
Вопрос 4. Бинарные отношения.
Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения.
В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. A*B={a, b}, aО A, bО B}. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название «бинарное отношение».
Опр.1 Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения А*А. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из А.
Обозначения: W={ (a, b) /, a, bО A}; aWb, a, bО A; (a, b) О W, где a, bО A
Например, бинарные отношения являются:
1. «^ «на множестве прямых.
2. «=» на множестве чисел.
3. «@ «изоморфизм на множестве алгебр.
4. «~ «эквивалентность систем и др.
Бинарные отношения могут обладать свойствами:
1) рефлексивность: «aО A, aWa;
2) симметричность: «a, bО A, aWbЮ bWa;
3) транзитивность: «a, b, c О A, aWb и bWcЮ aWc
4) связность: «a, bО A, aWbЮ bWa;
5) антирефлексивность: «aО A,(a, a) П W;
6) антисимметричность: «a, bО A, aWb, bWaЮ a=b
В зависимости от того, каким набором свойств обладают отношения, они допускают
классификацию, которую представим схемой:
Бинарное
отношение
функциональностьэквивалентность:порядок:
» xО A, $ ! yО A: рефлексивность, антисимметричность,
f:x® y cимметричность, транзитивность
транзитивность
строгий порядок: нестрогий порядок:
антирефлексивность рефлексивность
частичный порядок:полный порядок:
не обладает свойством обладает связностью
связности
Остановимся на отношении эквивалентости, то есть на отношении WМ A*A, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются «=», «~», «сравнение по модулю», изоморфизм алгебр и другие.
Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.
Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.
Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.
Теорема 2. Бинарное отношение задает на A№ 0 разбиение.
Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности: