Вопросы к гос.экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра”

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы.

В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы — числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij О R

Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.

Подстановка t = 1 2 … n называется взаимно-однозначное

t (1) t (2) …t (n)

отображение множества М={1,2,…, n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!

Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;

-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.

Для обозначения четности подстановки используется символ sgn (t) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) t = E (единичная)-четная; 2) sgn (t --1) = sgn t ;

3) одна транспозиция меняет четность подстановки.

Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (t)

где t -подстановка из индексов элементов произведения, т. е.

|A|=е sgn (t)a1t (1) a2t (2) …ant (n) , A=(aij)n*n

приняты также обозначения для определителя: def A, Δ.

Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:

1. |A|=|At|, где Аt -трансионированная;

2. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4. Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.

5. Перестановка двух строк (столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

6. Если к одной строке матрицы прибавить другую, уменьшенную на число, не изменяет ее определитель.

7. Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i (a1+…ak b1+…bk c1+…ck), то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей, каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.

8. Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.

и другие.

Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента aij (Mij) и его алгебраического дополнения (Aij) .

Минором Mij элемента aij матрицы называется определитель матрицы, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число (-1)i+j Мij

Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца).

Теорема 3. |A|= a1jA1j +a2jA2j +…+anjAnj или

|A|=ai1Ai1 +ai2Ai2 +…+ain Ain.

Доказательство разобьем на три случая:

Cлучай 1. a11…a1n

|A|= a21…a2n = ann Mnn

0…ann

Воспользуемся для доказательства определением определителя

|A|=е sgn (t)a1t (1) a2 t (2)…a n-1,t (n-1) a nt (n)

Так как в n-ой строке все элементы кроме ann нули, то все слагаемые в определителе кроме ann равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен:

sgn (t) a1t (1) a 2 t (2)…a n-1,t (n-1) a n n =a n n (sgn (t ') a 1t (1) a 2 t (2) …a n-1,t (n-1)), где

t = 1 2 … n-1 n t ' = 1 2 … n-1

t (1) t (2) t (n-1) t (n), t (1) t (2) … t (n), т. к

t = 1 2 … n-1 n = 1 2 … n

t (1) t (2) … t (n-1) t (n) t (1) t (2) … t (n), то sgn (t) =sgn (t ').

Мы видим, что в скобках определитель порядка (n-1), полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому

|A|=annMnn, что и требовалось доказать.

Случай 2.

a 11 … a 1j. a 1n

|A|= … = a ij A ij

0 … a ij … 0

a n1 … a nj … a nn

Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:

A11 … a1j … a1n a11. a1j .a1n a11. a1n. a1j

A== n-i … =n-in-j … =

0. aij … 0an1. anj .ann an1. ann .anj

an1. anj … ann 0. aij. 0 0. 0. aij

=2n-Mij*aij=i+jaijMij=aijAij

Случай 3. |A|=a1iA1i +a2iA2i +…+aniAni.

A11. a1j . ann … a1j+0+.+0 …. a1j .. 0. … 0

A21. a2j. a2n … 0 +a2j+.+0. . 0. . a2j. … 0

A = … = … = … + … +.+ … =

an1. anj. ann … 0+0+.+anj …. 0. . 0. …anj

= a1jA1j+a2jA2j+.+anjAnj

Рассмотренная теорема позволяет вычислить определитель матрицы любого порядка. Теория определителей имеет приложительное значение, то есть используется в качестве средства для решения вопрос в математике. В частности, она лежит в основе решения систем линейных уравнений как одного из способов. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксированы теоремой Крамера.

Теорема 4. (Крамера). Если |A| не равен нулю, то система е aijxj=bi, где i=1,n; j=1,n имеет единственное решение, которое находится по формуле:

xi= , где = A,

D xi-определитель матриц, полученных из, А заменой i-столбца столбцом свободных членов.

Пусть (1) е aijxj=bj, i=j=1,n, |A| № 0. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения (2): AX=b, где А-основная матрица системы, .

X1 b1

X= X2, b = b2

..

xn bn

Если |A| № 0® $ А-1 Ю А-1АХ=А-1b Ю X=A-1 b. Известна теорема утверждающая, что A-1 = A*, где A* -присоединенная матрица к матрице A, она состоит из алгебраических дополнений элементов, расположенных в столбцах. Тогда:

A11 A21. An1 b1 b1A11+b2A22+.+bnAn1

X= A* b = A12 A22. An2 b2 = b1A12+b2A22+.+bnAn2 =

… … …

A1n A2n . Ann bn b1A1n+b2A2n+.+bnAnn

x1

=x2 ,

xn

что и позволит получить формулу: Xi=, где = A, i=1,n

Вопрос 4. Бинарные отношения.

Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения.

В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. A*B={a, b}, aО A, bО B}. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название «бинарное отношение».

Опр.1 Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения А*А. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из А.

Обозначения: W={ (a, b) /, a, bО A}; aWb, a, bО A; (a, b) О W, где a, bО A

Например, бинарные отношения являются:

1. «^ «на множестве прямых.

2. «=» на множестве чисел.

3. «@ «изоморфизм на множестве алгебр.

4. «~ «эквивалентность систем и др.

Бинарные отношения могут обладать свойствами:

1) рефлексивность: «aО A, aWa;

2) симметричность: «a, bО A, aWbЮ bWa;

3) транзитивность: «a, b, c О A, aWb и bWcЮ aWc

4) связность: «a, bО A, aWbЮ bWa;

5) антирефлексивность: «aО A,(a, a) П W;

6) антисимметричность: «a, bО A, aWb, bWaЮ a=b

В зависимости от того, каким набором свойств обладают отношения, они допускают

классификацию, которую представим схемой:

Бинарное

отношение

функциональностьэквивалентность:порядок:

» xО A, $ ! yО A: рефлексивность, антисимметричность,

f:x® y cимметричность, транзитивность

транзитивность

строгий порядок: нестрогий порядок:

антирефлексивность рефлексивность

частичный порядок:полный порядок:

не обладает свойством обладает связностью