Виды тригонометрических уравнений

«Виды тригонометрических уравнений»

Виды тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

Пример 1. 2sin (3x — p/4) -1 = 0.

Решение. Решим уравнение относительно sin (3x — p/4).

sin (3x — p/4) = ½, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим

3х — p/4 = (-1)n arcsin ½ + np, nÎZ.

Зх — p/4 = (-1)np/6 + np, nÎZ; 3x = (-1)np/6 + p/4 + np, nÎZ;

x = (-1)np/18 + p/12 + np/3, nÎZ

Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =

= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz.

Ответ: х1 = 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x2 = 13p/36 + 2pn/3, nÎZ,

или в градусах: х, = 25° + 120 · n, nÎZ; x, = 65° + 120°· n, nÎZ.

Пример 2. sinx + Öз cosx = 1.

Решение. Подставим вместо Öз значение ctg p/6, тогда уравнение примет вид

sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;

sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos (x — p/6) = ½.

По формуле для уравнения cosx = а находим

х — p/6 = ± arccos ½ + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ;

x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;

x2 = - p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ;

Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ.

2. Двучленные уравнения:

Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x — sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

sinx = 0 или cos2x = 0.

x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.

Ответ: x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.

3. Разложение на множители:

Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx

Решение. cosx ¹ 0; x ¹p/2 + pn, nÎZ.

sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx. Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx · cosx + sinx — sin2x = 0; sinx (cosx + 1 — sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx — sinx +1=0;

x1 = pn, nÎZ; cosx — cos (p/2 — x) = -1; 2sin p/4 · sin (p/4 — x) = -1;

Ö2 · sin (p/4 — x) = -1; sin (p/4 -x) = -1/Ö2; p/4 — x = (-1) n+1 arcsin 1/Ö2 + pn, nÎZ;

x2 = p/4 — (-1) n+1·p/4 — pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1) n·p/4 + pn, nÎZ.

Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn.

Ответ: x1 = pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-I)n·p/4 + pn, nÎZ.

4. Способ подстановки

Пример 1. 2 sin2x = 3cosx.

Решение. 2sin2x — 3cosx = 0; 2 (l — cos2x) — 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx — 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| £ 1. 2z2 + 32z — 2=0.

Д = 9+16 = 25; ÖД = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = ½; z2 = (-3−5)/ 4 = -2 —

-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = ½; х = ± p/3 + 2pn, nÎZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nÎZ.

5. Однородные уравнения

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 и т. д.

В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx.

Пример 1. Ö3sin2 2x — 2sin4x + Ö3cos22x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение Ö3sin22x — 4sin2xcos2x + Ö3cos22x = 0.

Разделим на cos22x. Уравнение примет вид Ö3 tg22x — 4tg2x + Ö3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда Ö3z2 — 4z + Ö3 = 0; Д = 4; ÖД = 2.

z1 = (4 +2)/2Ö3 = 6/2Ö3 = Ö3; z2 = (4 — 2)/2Ö3 = 1/Ö3

tg2x = Ö3 или tg2x = 1/Ö3

2x = p/3 + pn, nÎZ; 2x = p/6 + pn, nÎZ;

x1 = p/6 + pn/2, nÎZ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nÎZ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.



Теги: уравнения