Векторная алгебра

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА — раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой a+b векторов a и b называют вектор, проведенный из начала a к концу b, если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

a+b=b+a (коммутативность)

(а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность)

a + 0=a (наличие нулевого элемента)

a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),

где 0 — нулевой вектор, —a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, чтоx+b=a.

Произведением l x вектора а на число l в случае l № 0 , а № О называют вектор, модуль которого равен | l ||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a , если l >0, и в противоположную, если l <0 . Если l =0 или (и) a =0, то l a=0 . Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

l *(a+b)= l *a+l *b (дистрибутивность относительно сложения векторов)

(l +u)*a=l *a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел)

l *(u*a)=(l *u)*a (ассоциативность)

1*a=a (умножение на единицу)

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, …, с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b ,…, gиз которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

a a+b b+…g c=0. (1)

Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, …, c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a, b, ., с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b ,…, gравны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e1, e2, e3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор, а единственным образом представляется в виде суммы:

a=a1e1+a2e2+a3e3.

Числа a1, a2, a3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a1, a2, a3}.

Два вектора a={a1, a2, a3} и b={b1, b2, b3} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a1, a2, a3} и b={b1, b2, b3}, b№ 0, является пропорциональность их соответствующих координат: a1=l b1, a2=l b2, a3=l b3. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a1, a2, a3}, b={b1, b2, b3} и c={c1, c2, c3} является равенство :

| a1 a2 a3 |

| b1 b2 b3| = 0

| c1 c2 c3 |

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a1, a2, a3} и b={b1, b2, b3} равны суммам соответствующих координат: a+b={a1+b1, a2+b2, a3+b3}. Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат, а на l:

l а= {l а1, l a2, l a3}.

Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними:

(а, b) = | а |*| b | cosj .

За j принимается угол между векторами, не превосходящий p. Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

(a, b)= (b, а) (коммутативность),

(a, b+с)= (a, b) + (а, с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),

l (a, b)=(l a, b) =(a, l 6) (сочетательность относительно умножения на число),

(a, b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a^ b.

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т. е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k (ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов :

a={a1, a2, a3} и b={b1, b2, b3}

заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

(a, b)=a1b1+a2b2+a3b3

Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a1, a2, a3} и b={b1, b2, b3}

может быть вычислен по формуле:

где и

Косинусы углов вектора a={a 1 , a 2 , a 3 } с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а:

Направляющие косинусы обладают следующим свойством:

cos2a+cos2b+cos2g=1

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. еа вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами:

Пр. е (a+b)= Пр. е a+ Пр. е b (аддитивность),

Пр. е a = Пр. еl a (однородность).

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a, b, c — левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки (см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

b b

c c

a a

правило левой руки правило правой руки

Ниже тройку векторов i, j, k следует считать правой .

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k:

aVb=| a || b |*sinj

Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:

aVb=-bVa (антикоммутативность),

aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),

l (aVb)=l aVb (сочетательность относительно умножения на число),

aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или, а и b коллинеарны.

Если в ортонормированном базисе векторы, а и и имеют координаты {a1, a2} {b1, b2}, то :

aVb=a1b1-a2b2.