Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях
Дано:
Для схемы:
U0(t)= U0=const U0=5 В
i0(t)=I0d 1(t) I0=2 A
- Составить уравнения состояния для цепи при tі 0.
- Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов.
Переменными состояния для данной схемы будут являться напряжения на емкостях С1 и С4. Для нахождения уравнений состояния запишем уравнения по I и II законам Кирхгофа:
(1)
Для нахождения производных переменных состояния решим следующую систему, полученную из системы (1), приняв за неизвестные все токи, участвующие в системе (1) и первые производные переменных состояния. Переменные состояния примем за известные величины для получения их в правой части уравнений состояния:
(2)
Решаем эту систему в матричном виде с помощью MathCad:
1.2 Найти точные решения уравнений состояния.
Сначала найдем корни характеристического уравнения как собственные числа матрицы, составленной из коэффициентов при переменных состояния в уравнениях состояния:
Общий вид точных решений уравнений состояния:
Вынужденные составляющие найдем как частное решение уравнений состояния, учитывая то, что если в цепи включены только постоянные источники питания, значит, и принужденные составляющие будут константами, соответственно производные принужденных составляющих будут равны нулю. Учитывая выше сказанное, найдем их из уравнений состояния следующим способом:
Начальные условия (находятся из схемы):
Для нахождения постоянных интегрирования A1, A2, A3, A4 требуется 4 уравнения. Первые два уравнения получим из выражений точного решения уравнений состояния, учитывая законы коммутаций: переменные состояния не меняют своего значения в момент коммутации.
При t=0:
Далее найдем значения производных переменных состояния при t=0 из уравнений состояния:
Выражения эти производных найденные из выражений решения уравнений состояния:
При t=0:
Таким образом имеем 4 уравнения для нахождения постоянных интегрирования, находим их:
Точные решения уравнений состояния:
Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера:
Подставляя выражения производных из уравнений состояния:
h — шаг расчета =2*10-6 с. i=1…100. Переменными с нулевыми индексами являются значения начальных условий.
1.2.2 Найти точные решения уравнений состояния.(второй способ)
e(A)t = a0 + a1(A) e(A)t=
(X) = [e(A)t-1][A]-1[B][V]
1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменной состояния.
Часть 2.
Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии.
Анализу подлежит следующая цепь:
Параметры импульса: Um=10 В tu=6*10-5 c
Форма импульса:
2.1 Определить функцию передачи:
воспользуемся методом пропорциональных величин и определим u (t)=1(t), его Лапласово изображение U0(s)=1/s.
Запишем уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, учитывая, что начальные условия нулевые:
Решаем эту систему:
Таким образом:
Функция передачи:
2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.Полюсы:
Нули:
Плоскость комплексной частоты:
2.3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения.
Импульсная характеристика:
Выделим постоянную часть в HU(s):
Числитель получившейся дроби:
Упрощенное выражение HU(s):
Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой о разложении. Для этого найдем производную знаменателя:
Коэффициенты разложения:
Оригинал импульсной характеристики:
Переходная характеристика:
Этим же методом находим оригинал характеристики:
2.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса.
Изабражение по Лапласу фукции f (t):
Входной импульс представляет собой функцию
Поэтому изображение входного сигнала будет
2.5 Найти напряжение на выходе схемы, используя HU(s).
Изображение выходного сигнала:
Найдем отдельно оригиналы части выражения при и при части, не имеющей этого множителя:
Для части выражения при , используя теорему о разложении:
Для части выражения не имеющей множителя , используя теорему о разложении:
Функция напряжения на выходе схемы, получена с использованием теоремы о смещении оригинала:
2.6 Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом — входной и выходной сигналы.