Аппроксимация функций
Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:
- аналитический
- графический
- табличный
Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.
Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.
Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f (x) можно рассмотреть другую функцию φ(ч) близкую в некотором смысле к f (x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.
φ(υ) — аппроксимирующая функция.
Интерполяция (частный случай аппроксимации)
Если для табличной функции y=f (x), имеющей значение x0 f (x0) требуется построить аппроксимирующюю функцию j(x) совпадающую в узлах с xi c заданной, то такой способ называется интерполяцией
При интерполяции, заданная функция f (x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид
j(x)=pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0
В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an , an-1, …a0, так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:
Pn(xi)=yi i=0,1,…n
Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x).
i¹j
В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией .
Задание
С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в точке xc, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом Dх=4,1 начиная с точки х0=1,3 даны значения функции y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.
ГСА для данного метода
CLS
DIM Y (9)
DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10
FOR I = 0 TO N — 1
1 X (I) = X0 + H * I
READ Y (I)
PRINT Y (I); X (I)
NEXT I
S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
FOR I = 0 TO N — 1
2 S1 = S1 + X (I) ^ 2
S2 = S2 + X (I)
S3 = S3 + X (I) * Y (I)
S4 = S4 + Y (I)
NEXT I
D = S1 * N — S2 ^ 2