Алгебраические числа

  1. поле всех рациональных чисел;
  2. поле всех вещественных чисел;
  3. поле всех комплексных чисел.

Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым полем, ибо не замкнуто относительно деления.

Существует бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел.

2.2 Определение алгебраического числа.

Существуют различные признаки, по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению. С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному классу чисел.

Определение 3: Число Z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами:

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0

(a0, a1, …, aZ; an№0),

т.е. выполняется:

anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0=0

Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными.

В определении алгебраического числа можно допустить, чтобы коэффициенты a0, a1, …, an-1, an были любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число.

К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные числа. Действительно, рациональное число z (p, qО N) очевидно является корнем уравнения: qx-p=0.

Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом. Действительно, число z (p, qО N) является корнем уравнения:

qxn-p=0.

Существуют и другие алгебраические числа, нежели указанное выше.

Пример:

  1. Чиcло z является алгебраическим. Действительно, возводя в квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим: z2=2+2+3. Отсюда z2-5=. Возводя в квадрат обе части этого равенства, получим: z4-10z2+25=24. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения:
  2. x4-10x2+1=0

  3. Всякое число z=a+bi, у которого компоненты a и b — рациональные числа, являются алгебраическими. Докажем это.

, (p, q, О N).

Из равенства, получаем:. Отсюда, возводя в квадрат, получим: . Следовательно, я является корнем уравнения:

все коэффициенты которого целые числа.

В дальнейшем мы будем рассматривать только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз.

Из f (x)=0 следует f (z)j (x)=0, где в качестве j (x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени.

Определение 4: Число n называется степенью алгебраического числа z, если z есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является z.

Если корень многочлена n-ой степени с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей чем n, то z не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем n, т. е. z — алгебраическое число степени n.

Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями.

Пример:

  1. — алгебраическое число 3-й степени, т. е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x3-2=0 и

не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.

Определение 5: Если алгебраическое число n-й степени z является корнем многочлена f (x)=xn+b1xn-1+ … +bn (nі 1) (1) с рациональными коэффициентами, то f (x) называется минимальным многочленом для z.

Таким образом, минимальным многочленом для z называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равном единице, корнем которого является z.

Если вместо многочлена (1) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является z, то многочлен (1) может быть получен из него делением всех коэффициентов на старший член.

Пример:

  1. Минимальным многочленом для является x3-2, так как корень этого многочлена

не является корнем какого-либо многочлена степени с рациональными коэффициентами.