Алгебраические числа
Содержание.
- Введение
- I. Краткий исторический очерк
- II. Поле алгебраических чисел
- 2.1. Понятие числового поля
- 2.2. Алгебраическое число
- 2.3. Поле алгебраических чисел
- III. Рациональные приближения алгебраических чисел
- 3.1 Теорема Лиувиля
- 3.2 Трансцендентные числа Лиувиля
- Заключение
Введение.
Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности.
Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел.
Если рассматривать корни многочленов: f (x)=xn+a1xn-1+…+an с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами.
Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел.
I. Краткий исторический очерк.
Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К. Гаусса (1777−1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b — обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел.
Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (1810−1893) и Дирихле (1805−1859) и развита затем Кронекером (1823−1891), Дедекиндом (1831−1916) и Е.И. Золотаревым (1847−1878). Работы Лиувилля (1809−1882) и Эрмита (1822−1901) явились основой трансцендентных чисел.
Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота.
В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел.
Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете.
К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм.
II. Поле алгебраических чисел.
2.1 Понятие числового поля
Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий.
Определение 1: Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М, для которых определен результат данного действия над ним, число, является этим результатом, всегда принадлежащим М.
Пример:
- N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, т.к. «a, bО N => (a+b) О N.
- Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.
- Множество чисел вида 2к, кО N, замкнуто относительно умножения и деления.
В отношении умножения множество N так же замкнуто. Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления. Действительно:
5, 7 О N, но 5−7=-2 П N,
3, 2О N, но 3:2=1,5 П N
2к* 2l=2k+l
2к:2l=2k-l
В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств.
Рассмотрим один их классов, называемых полем.
Определение 2: Множество чисел М, содержащие не менее двух чисел, называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления.
Последнее означает, что для любых a, b О M, должно иметь место a+b, a-b, a*b О M. Так же для любого aО M и любого b№ 0 из М, должно выполняться a: bО M.
Пример:
Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются: