Система философии математики Аристотеля

Существование математических объектов признавалось задолго до Аристотеля, однако, пифагорейцы, например, предполагали, что они находятся в чувственных вещах, платоники же, наоборот, считали их существующими отдельно. Согласно Аристотелю: 1. В чувственных вещах математические объекты не существуют, так как «находиться в том же самом месте два тела не в состоянии»; 2. «Невозможно и то, чтобы такие реальности существовали обособленно».

Аристотель считал предметом математики «количественную определенность и непрерывность». В его трактовке «количеством называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых… является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это величина, если его можно измерить». Множеством при этом называется то, «что в возможности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною — то, что делится на части непрерывные». Прежде чем дать определение непрерывности, Аристотель рассматривает понятие бесконечного, так как «оно относится к категории количества» и проявляется, прежде всего, в непрерывном. «Что бесконечное существует, уверенность в этом возникает у исследователей из пяти оснований: из времени (ибо оно бесконечно); из разделения величин.; далее, только таким образом не иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда берется возникающее. Далее, из того, что конечное всегда граничит с чем-нибудь, так как необходимо, чтобы одно всегда граничило с другим. Но больше всего -… на том основании, что мышление не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические величины». Существует ли бесконечное как отдельная сущность или оно является акциденцией величины или множества? Аристотель принимает второй вариант, так как «если бесконечное не есть ни величина, ни множество, а само является сущностью…, то оно будет неделимо, так как делимое будет или величиной, или множеством. Если же оно не делимо, оно не бесконечно в смысле непроходимого до конца». Невозможность математического бесконечного как неделимого следует из того, что математический объект — отвлечение от физического тела, а «актуально неделимое бесконечное тело не существует». Число «как что-то отдельное и в то же время бесконечное» не существует, ведь «…если возможно пересчитать счислимое, то будет возможность пройти до конца и бесконечное». Таким образом, бесконечность здесь в потенции существует, актуально же — нет.