ИССЛЕДОВАНИЕ СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА

Цель работы — ознакомление с принципом действия согласованного фильтра и исследование его помехоустойчивости.

1. Проработать теоретический материал по источникам [1,2] и данным методическим указаниям.
2. Изучить функциональную схему лабораторной установки.
3. Выполнить работу.
4. Ответить на контрольные вопросы.

Из теории оптимальных методов радиоприема известно, что в условиях действия гауссовской помехи типа белого шума оптимальный приемник должен вычислять интеграл вида

(1)

где N₀ — односторонняя спектральная плотность шума; Т — длительность сигнала; u (t) — принятый сигнал; s (t) — полезный сигнал;

Интеграл (1) можно рассматривать как меру взаимной корреляции принятого сигнала u (t) и полезного сигнала s (t) сигналов. Чтобы осуществить реализацию выражения (1), используют корреляционный приемник. С другой стороны, интеграл (1) можно рассматривать как свертку сигнала u (t) с импульсной характеристикой некоторого фильтра. В этом случае необходимо использовать согласованный фильтр.

Рассмотрим задачу синтеза оптимального фильтра в условиях действия аддитивной помехи.

Пусть принятый сигнал имеет вид

(2)

где s (t) — полезный сигнал известной формы со спектральной плотностью F_s(jw); n (t)стационарный случайный процесс со спектральной плотностью мощности F_n(w).

Будем отыскивать оптимальный фильтр в классе линейных фильтров. Тогда сигнал на входе фильтра с учетом принципа суперпозиции можно представить как

(3)

Найдем отношение р мощности полезного сигнала к мощности помехи на выходе фильтра в некоторый момент времени t₀.

(4)

где K (jw) — комплексно-частная характеристика фильтра.

Соответственно в момент времени t₀

(5)

Мощность помехи на выходе фильтра

(6)

В формулах (4) и (6) через F_{s, вых}(jw) и F_{n, вых}(w) обозначены спектральная плотность полезного сигнала и спектральная плотность мощности помехи на выходе фильтра.

С учетом (5) и (6) выражение для р в момент времени t₀ запишется как

(7)

Понятно, что чем больше величина р, тем выше помехоустойчивость приема. Поэтому определим фильтр, который обеспечивал бы на выходе максимальное соотношение сигнал/помеха.

Воспользуемся неравенством Буняковского — Шварца

(8)

справедливым для любых функций А (w) и В (w), для которых интегралы в (8) имеют смысл. Заметим, что неравенство (8) превращается в строгое равенство, если

(9)

где а- постоянная; В^* (w) — функция, комплексно-сопряженная с функцией В (w). С учетом (8) можно записать

и, соответственно,

(11)

С учетом (9) находим, что максимальное отношение сигнал/помеха

достигается при

(12)

где F_s^*(jw) — комплексно-сопряженный сигнал.

Таким образом фильтр с комплексно — частотной характеристикой, определяемой формулой (12), является наилучшим в классе линейных фильтров, а при гауссовских помехах также наилучшим образцом и в классе нелинейных фильтров.

Из выражения (12) следует, что коэффициент передачи фильтра зависит от отношения спектральной плотности сигнала к спектральной плотности мощности помехи: коэффициент передачи тем больше, чем больше это отношение. Таким образом, оптимальный фильтр избирательно пропускает те или иные частотные составляющие. Очевидно, что отношение сигнал/помеха будет тем больше, чем сильнее отличается спектр сигнала от спектра помехи.

Рассмотрим случай, когда помеха представляет собой белый шум со спектральной плотностью мощности N₀/2. В этом случае комплексно — частотная характеристика оптимального фильтра

(13)

а соотношение сигнал/помеха

(14)

где Е — энергия сигнала.

Фильтр с характеристикой (13), оптимальный для помехи типа белого шума называется согласованным.

Максимальное отношение сигнал/помеха (14) на выходе такого фильтра определяется только энергией сигнала и спектральной плотностью мощности помехи и не зависит от формы сигнала. По значению это отношение совпадает с максимальным отношением сигнал/ помеха на выходе корреляционного приемника. Отсюда, в частности, следует, что в условиях действия помехи типа белого шума помехоустойчивость корреляционного приемника и согласованного фильтра одинаковы.

Рассмотрим более подробно комплексно — частотную спектральную плотность полезного сигнала в виде

где |F_s(jw)| и j(w) — амплитудный и фазовый спектр сигнала соответственно.

Тогда

С другой стороны,

(16)

где |K (jw)| - амплитудно-частотная характеристика фильтра; Y(w) — фазовая характеристика фильтра.

Сравнивая (15) и (16) находим

(17)

(18)

Из (17) следует, что амплитудно частотная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянной совпадает с амплитудным спектром сигнала.