Дискретные модели вида (4) представляют интерес потому, что в них более последовательно, чем в непрерывных, отражаются процедуры принятия решений.

Концептуальная модель любого процесса динамики цен включает взаимодействие трех подсистем, которые можно условно назвать «товаропроизводитель», «потребитель» и «рынок» (рис. 2). Паутинообразная модель (модель А), в которой спрос отстает от предложения на один период: D (P_t+1) =S (P_t), также вписывается в схему рис. 2.

Эта модель — одна из исторически первых динамических моделей рынка, отражающих поведение участников. Она служит хорошей иллюстрацией применения метода моделирования при анализе экономических процессов.

Значение модели А определяется еще и тем, что многие современные модели динамики цен, а также динамические модели макроэкономики приводят к «паутинообразному» процессу. Рассмотрим гипотезы, которые лежат в основе этой модели.

Эта гипотеза означает, что товаропроизводитель прогнозирует цену следующего периода. Правда, прогноз здесь очень примитивный, опирается на логическую схему: «сегодня цена была P_t, если и завтра она будет равна P_t, то я получу максимальную выгоду при продаже товара в количестве S (P_t) ».

Гипотеза 2. Рынок всегда находится в состоянии локального равновесия.

Эту гипотезу можно трактовать, по Вальрасу, следующим образом. Вместо абстрактного, неодушевленного понятия «рынок» последний выступает в виде некоего человека-аукциониста, распоряжающегося на реальном рынке. Этот аукционист сначала устанавливает произвольные цены на товары, после чего участники рынка совершают условные сделки и сообщают об их результате аукционисту. Если спрос на некоторый товар оказался больше (меньше) предложения, то аукционист меняет первоначальные цены, поднимая (понижая) цену этого товара. Окончательные сделки совершаются лишь после достижения равновесия.

Другая трактовка этой гипотезы состоит в том, что задачей аукциониста является установление максимальной цены, при которой весь товар, поставляемый на рынок производителем, находит покупателя. Формально эти две гипотезы означают следующее: 1) объем предложения на рынке S_t+1 в каждый период времени t+1 определяется значением цены предыдущего периода при помощи функции предложения S_t+1=S (P_t) ;

2) на рынке в каждый период t+1 устанавливается равновесная цена P_t+1, причем эта цена является решением уравнения D (P_t+1) =S_t+1; 3) потребитель предъявляет спрос, который при цене P_t+1 в каждый момент времени равен предложению S_t+1, вследствие чего потребитель приобретает все, что ему предложено.

Принятое в модели А взаимодействие подсистем «потребитель», «товаропроизводитель» и «рынок» может быть представлено в виде блок-схемы, изображенной на рис. 3.

Использование монотонных функций спроса и предложения позволяет построить последовательность цен P_t, где t — номер шага во времени. Действительно, в силу гипотезы (1) товаропроизводитель по значению цены P₁ при помощи кривой предложения определяет S₂; в силу гипотезы (2) на рынке устанавливается цена P₂ (находится при помощи кривой спроса); в силу гипотезы (3) весь товар в количестве S₂ находит потребителя; в силу гипотезы (1) товаропроизводитель, ориентируясь на цену P₂, определяет объем предложения S₃ и т. д. (рис. 3). Далее рассмотренный процесс повторяется.

Таким образом, сформулированные две гипотезы приводят к итерационному процессу (4), где спрос запаздывает от предложения на один период.

Динамика цены (а также спроса и предложения) в рамках данной модели может быть изображена в виде кривой, которую называют либо паутиной, либо спиралью (рис. 4). Поэтому в литературе паутинообразную модель иногда называют «динамической спиралью». В случае, изображенном на рис. 4, последовательность цен P_t стремится к равновесному уровню p_e, и, таким образом, здесь со временем устанавливается равновесие.

Для ответа на вопрос, всегда ли в данной модели итерационный процесс (4) приводит к равновесию, рассмотрим случай, когда функции спроса и предложения линейно зависят от цены, т. е.

D (P) =Q_e-d (P-p_e), S (P) =Q_e+s (P-p_e). (5)

Здесь p_e — равновесное значение цены; Q_e — соответствующее равновесное значение спроса и предложения; d и s — угловые коэффициенты функций спроса и предложения.

В силу уравнений (5) итерационный процесс (4) может быть представлен в виде Q_e-d (P_t+1-p_e) =Q_e+s (P_t-p_e), или P_t+1-p_e=-s (P_t-p_e) /d.

Это значит, что числовая последовательность y_t=P_t-p_e, которая определяет отклонение текущей цены от равновесной, представляет собой знакочередующуюся геометрическую прогрессию

y_t+1=qy_t (6) со знаменателем q = -s/d. Поэтому при s<d последовательность y_t стремится к нулю, что означает достижение в конце концов равновесия на рынке (этому случаю соответствует рис. 4).

При s>d последовательность y_t неограниченно возрастает и амплитуда колебаний цен увеличивается (рис. 5).

При s=d последовательность y_t последовательно принимает равные по абсолютной величине значения (рис. 6). Как видим, характер динамики цен зависит в данной модели от отношения угловых коэффициентов функций спроса и предложения. Поэтому теоретически равновесное положение паутинообразной модели может быть и неустойчивым.

Сформулируем гипотезы одной из модификаций паутинообразной модели (3) с запаздыванием предложения (модель В).

Эта гипотеза приводит к росту (снижению) предложения в случае, когда спрос больше (меньше) предложения.

Здесь товаропроизводитель действует формально: он знает, что кривая предложения в некотором смысле оптимальна. Поэтому он полагает, что при определении уровня цен с помощью функции предложения предлагаемый объем товара будет оптимальным.